苏科版数学八上期末专题训练 勾股定理30道经典压轴题型（2份，原卷版+解析版）

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勾股定理30道经典压轴题型
【重难点题型】
1．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；
在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示，
在△ACE和△FCD中，
∴△ACE△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
当，△ACF是等边三角形，
则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，
但无法求证，
故③不正确；
由①得，△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，CEA=CDB=45°，
∴ADB=CDB+EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
2．在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①中证明，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，故③错误，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．
3．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
4．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
5．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
6．如图1，是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径OM＝20cm，把手MQ＝15cm，点O，M，Q在同一直线，用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠PQM大小可变），点P在轨道AB上来回滑动并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝80cm．若磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑过的路径长为（ ）
A．90cmB．150cmC．180cmD．70πcm
【答案】C
【分析】连接OP，求出OP的取值范围，再求出PA的取值范围，即可得结论．
【详解】解：由题意可知OQ＝OM+MQ＝35cm，PQ＝135cm，
当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，OP取得最小值，
此时cm；
当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，OP取得最大值，
此时cm．
∵cm，
∴①当OP＝170cm时，（cm）；
②当OP＝100cm时，（cm）．
∵每转一周，AP从最小值到最大值再到最小值，
∴点P的运动路径长为：（150﹣60）×2＝180（cm）．
故选：C．
【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．15B．12C．10D．9
【答案】A
【分析】如图，连接AD，作，垂足分别为，可证，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知当时，最小，最大，此时有，解得的值，进而求解的值，故可知的最大值．
【详解】解：如图，连接AD，作，垂足分别为
由题意知
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴
∴当时，最小，最大
∴此时
解得
∴
∴的最大值为15
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于将线段和与面积联系求解．
8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB＋∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题意，证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，在Rt△EGC中，勾股定理建立方程，解方程即可判断③；根据①的结论可得，进而可得，根据三角形内角和定理即可得∠AGB+∠AED＝135°进而判断②；根据题中数据分别计算S△EGC，S△AFE，即可判断④
【详解】解：由题意可求得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，
四边形是正方形，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝3，
∴BG＝CG＝3，
∴③正确；
将△ADE沿AE对折至△AFE，Rt△ABG≌Rt△AFG
∴∠AGB+∠AED＝135°，
∴②正确；
∵S△EGC＝GC•CE＝×3×4＝6，S△AFE＝AF•EF＝×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE，
∴④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，分别平分和，且点在上，分别是延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④恒为．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据∠MAD+∠NDA=180°，得到AB∥CD，再根据平行公理可判断①；根据平行线的性质判断出∠BAD+∠CDA=180°，结合角平分线的定义可得∠3+∠4=90°，得到AE⊥DE，李用勾股定理可判断②；再利用平行线的性质和角平分线的定义判断出∠EAF+∠EDF=135°，结合∠AED=90°，可求出∠F，可判断④；而由于无其他条件可得∠3与∠DAF的关系，可判断③．
【详解】解：∵∠MAD+∠NDA=180°，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BC，
∴CD⊥BC，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵AE和DE分别平分∠BAD和∠CDA，
∴∠3+∠4=（∠BAD+∠CDA）=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE，
∴在△ADE中，，故②正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°，
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确，
而无法证明∠3与∠DAF的关系，故③错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理以及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
10．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（ ）
A．1或4B．或9C．1或9D．或1
【答案】C
【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，如图所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，
∴BE=AB=5，
∵BD'==4，
∴DE=D'E=5-4=1；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：
∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE=AB=5，
∵BD''==4，
∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；
综上所知，DE的长为1或9，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则＝________．
【答案】
【分析】取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位线定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA证明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，从而解决问题．
【详解】解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，
∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴BC＝2DG，DGBF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE＝DF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题的关键是证明点E是DF的中点．
12．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案．
【详解】解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键．
13．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6##6或2
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
14．如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．
【答案】##1.8##
【分析】先证明，，结合得到，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，∵是由翻折，

∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿线段以每秒的速度运动到．当点的运动时间______秒时，的面积为．
【答案】或
【分析】根据线段中点的性质得到，再由三角形的面积公式推出，结合图形可以分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论，由线段之间的和差关系及行程问题公式时间路程速度进行求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
又，即，

解得，
当点在点左侧时，
，则，
此时点的运动时间秒．
当点在点右侧时，
，则，
此时点的运动时间秒，
综上，点的运动时间为或秒．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是求得长度后结合图形分情况进行讨论点在点左侧和点在点右侧．
16．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝_____．
【答案】20
【分析】首先证明DG=BG=AG，CG=GF，设CG=GF=x，AG=BG=DG=y．构建方程组即可解决问题．
【详解】解：∵CD=CB，∠ACB=∠ACD，CA=CA，
∴△CAB≌△CAD（SAS），
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵CD=CB，AD=AB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴DG=BG=AG，
∵AC=DF，
∴CG=GF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠BGC=∠AGF=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠FAG=90°，
∴∠CBG=∠FAG，
∵BG=AG，
∴△BGC≌△AGF（ASA），
∴AF=BC=CE+BE=5+12=17，
设CG=GF=x，AG=BG=DG=y．
①
∵
②
①×12得到：172×12=12x2+12y2，
②×17得到172×12=17y2-17xy，
∴12x2+12y2=17y2-17xy，
∴12x2+17xy-5y2=0，
∴（3x+5y）（4x-y）=0，
∵3x+5y≠0
∴y=4x，
∴12×17=4x×3x，
∴x2=17，
连接CF，可得CF2=2x2=34，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根据勾股定理建立方程组是解题的关键．
17．由4个直角边分别是、全等的直角三角形拼接而成的图形如图所示，如果图中大小正方形的面积分别为52和4，则=________．
【答案】10
【分析】根据勾股定理得到大正方形面积为，小正方形的面积为，利用完全平方公式即可求出结果．
【详解】解：由题意可知
，
∵
∴
即
故答案为10
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式，勾股定理与正方形面积相结合并灵活运用完全平方公式是解题的关键．
18．如图，在中，，，，平分交于点D，点E、F分别在、上，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为，先说明可得，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．
【详解】解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．
∵AE平分，
∴∠EAF=∠EA，
∵，AE=AE，
∴△EAF≌△EA，
∴，
∴，
当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小
在中，依据勾股定理可知，
∵
，
的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是利用垂线段最短解答最短路径问题．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．
【答案】45°
【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．
∴△APE是等腰直角三角形．
∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
20．在中，，AD是BC边上的高，AD上有一点E，连接CE，，在BC上取一点F使，，，则______．
【答案】12
【分析】延长至，是的，连接，设，，则，证明，可得，进而导角可得，可得，在中，，勾股定理列出方程解方程即可求解．
【详解】如图，延长至，使，连接，
，AD是BC边上的高，，，
是等腰直角三角形，
设，
，
则，
在与中，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
，
解得．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等角对等边，证明是解题的关键．
21．如图1，在中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，交于点，若，求证：，，三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于，过点作于，，，求，的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论；
（3）作于，作于，设，根据，，从而，设，，则，同理可求得和，根据列出方程，从而求得，进一步求得结果．
（1）
证明：在和中，
，
，
，
（2）
证明：由（1）知：，
，，
，
即：，
根据外角的性质：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，三点共线；
（3）
解：如图，
作于，作于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
同理可得：设，，，
，
，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系，在根据列出方程．
22．[问题发现]小明遇到这样-一个问题:
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E.
(1)小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系:
(2)[类比探究] 如图2，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时(其它条件不变) ，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.
(3)[拓展应用] 当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比，
【答案】(1)AD=DE
(2)AD=DE，证明见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，过点A作AF⊥BC，垂足为F，设AB=BC=AC=x，利用直角三角形的性质和勾股定理求出AF，OE和AD，结合三角形面积公式即可得到结论．
（1）
解：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DFAC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD与△EDC中，
，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE；
（2）
AD=DE；
证明：如图2，过点D作DFAC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DFAC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE；
（3）
∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
设AB=AC=BC=x，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∵AD⊥CE，
∴
∴OC=，
∴AO==，
∴AE=2AO=，AD=2AO=，
∴OE==，
过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∴AF==，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
23．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)如图1，若ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．
①若，求证：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的长．
【答案】(1)①6；②
(2)①见解析；②或
【分析】（1）①过A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可知，再由勾股定理计算AD的长即可；②过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，在和中借助勾股定理计算DH的长，然后由计算AD的长即可；
（2）①由、，可知，即有，然后在根据即可证明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，则或，然后分两种情况讨论，分别计算CD的长即可．
（1）
解：①如图3，过A作AD⊥BC于点D，
∵，，
∴，
∴；
②如图4，过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，
由（1）得，，
由勾股定理可知，，
∴，
解得，
∴；
（2）
①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴△DBE≌△ACD（ASA）；
②∵，
若△ADE是等腰三角形，则或，
当时，则，
∵△DBE≌△ACD，
∴，；
当，如图5，
则，，
在中，，即，
解得，．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质，并运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
24．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图：
(1)在图1中，作的高；
(2)在图2中作图：
①找一格点使，且；
②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可．
（1）
如图1，线段为所求；
证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图，
结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90°，
∴∠PBN+∠MPA=90°，
∴在△PBH中，∠PHB=90°，
即AH⊥BC，
AH符合要求；
（2）
①如图2，点为所求；
②如图2，点为所求．
①证明：结合网格图和勾股定理，可得，，
即，，
即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
即有：AC⊥AD，，即D点满足要求；
②证明：由割补法，可求得的面积为，
根据，则的面积，
∴与的面积相等，
根据网格作图可知，线段的中点为，
∴，
∴，
则线段平分四边形的面积．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，沿着射线BE以每秒1个单位的速度运动，点P运动的时间为t秒．
(1)DE的长为_______．
(2)如果动点P从点B出发，沿着B﹣C﹣D﹣A以每秒1个单位的速度向终点A运动，直接写出当t为何值时，△ABP≌△DCE；
(3)连接DP．
①求当t为何值时，△PDE是直角三角形；
②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．
【答案】(1)5
(2)t＝3
(3)①当t＝或t＝6时，△PDE是直角三角形；②当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形
【分析】（1）根据题意可得：CD=4，根据勾股定理可求DE的长；
（2）利用全等三角形的对应边BP=CE建立方程求解，即可得出结论；
（3）①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
②分PD=DE，PE=DE，PD=PE三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值．
（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，DE＝＝5，
故答案为5．
（2）
如图1，在长方形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝∠B＝90°，
∵△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，
∴1×t＝3，
∴t＝3；
（3）
①当∠PDE＝90°时，如图2，
在Rt△PDE中，，
在Rt△PCD中，，
∴，
∴，
∴t＝．
当∠DPE＝90°时，此时点P与点C重合，
∴BP＝BC，
∴t＝6．
综上所述，当t＝或t＝6时，△PDE是直角三角形；
②若△PDE为等腰三角形，
则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
当PD＝DE时，如图3，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝3，
∵BP＝BC﹣CP＝3，
∴t＝＝3，
当PE＝DE＝5时，如图4，
∵BP＝BE﹣PE，
∴BP＝9﹣5＝4，
∴t＝＝4，
当PD＝PE时，如图5，
∴PE＝PC+CE＝3+PC，
∴PD＝3+PC，
在Rt△PDC中，，
∴，
∴PC＝，
∵BP＝BC﹣PC，
∴BP＝，
∴t＝，
综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动、规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
(1)边的长度为__________；
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5cm
(2)t=4或t=7
(3)存在，t=3或t=
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，根据勾股定理求解即可；
（2）分两种情况讨论，当PQCD时或当PQ与CD不平行时，根据两种情况分别讨论并求解即可；
（3）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立直角坐标系，根据前两问题的条件标出各点的坐标，依此求解即可．
（1）
如图，过点D作DE⊥BC，
故DE=AB=4，
EC=BC-AD=11-8=3，
∵DE⊥EC，
∴△DEC为直角三角形，
∴．
故答案为：5．
（2）
设经过t s时，PQ=CD，
图①
①当PQCD时，如图①，
四边形PQCD为平行四边形，
∴PD＝CQ．
∵PD＝(8－t)cm，CQ＝t cm，
∴8－t＝t，
∴t＝4，
图②
②当PQ与CD不平行时，如图②，
分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F．
∴∠PEQ＝∠PEF＝∠DFE＝∠DFC=90°，
∵ADBC，∠B＝90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°-90°=90°，
∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，∠ADF=90°，
∵AD＝8cm，BC＝11cm，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD=3cm．
又∠PEF＝∠DFE=∠ADF=90°，
∴四边形PDEF是矩形，
∴PE=DF，EF=PD，
又PQ=CD，∠PEQ＝∠DFC=90°，
∴Rt△PQE ≌Rt△DCF (HL)，
∴QE=CF=3cm，
CQ=CF+EF+QE=CF+PD+QE，
∴t=3+8-t+3，
解得t=7．
（3）
存在，理由如下：
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立直角坐标系，
则B（0，0），A（0，4），C（11，0），D（8，4），P（t，4），Q（11-t，0），
若∠PDQ=90°，则PD⊥DQ，
∴11-t=8，
∴t=3，
若∠DPQ为90°，则PD⊥PQ，
∴t=11-t，
∴，
若∠DQP=90°，则PQ⊥DQ，
∴，
∴，
∵，
∴不存在这样的t使得∠DQP＝90°，
综上所示：t=3或t=．
【点睛】本题考查动点问题，勾股定理，平面直角坐标系的应用，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
27．已知，△ABC和△DBE都是等边三角形，连接AD、EC．
(1)如图1，求证：AD＝CE；
(2)如图2，延长CE交AD于点F，连接BF，求证：BF平分∠DFE；
(3)如图3，在（2）的条件下，若BF＝6，AF＝4，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）由SAS证得△BDA≌△BEC，即可得出结论；
（2）过点B作BM⊥AD，交AD延长线于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的在得AD＝CE，,则BM＝BN，再由角平分线的判定即可得出结论；
（3）过点B作BM⊥AD，交AD延长线于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的性质得∠BAD＝∠BCE，再由三角形的外角性质得∠AFN＝∠ABC＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得MF＝NF＝3，则AM＝AF＋MF＝7，BM＝BN＝，得AB＝，即可解决问题．
（1）
证明：∵△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴BD＝BE，BA＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△BDA和△BEC中，
，
∴△BDA≌△BEC（SAS），
∴AD＝CE；
（2）
证明：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于M，作BN⊥CF于N，如图2所示：
同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），
∴AD＝CE，,
∵BM是△BDA底边AD上的高，BN是△BEC底边CE上的高，
∴BM＝BN，
∴BF平分∠DFE；
（3）
解：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于M，作BN⊥CF于N，如图3所示：
则∠BMF＝∠BNF＝∠BNC＝90°，
同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠AFN＋∠BAD＝∠ABC＋∠BCE，
∴∠AFN＝∠ABC＝60°，
∴∠DFE＝120°，
由（2）可知，BF平分∠DFE，
∴∠BFM＝∠BFN＝×120°＝60°，
∴∠MBF＝∠NBF＝90°﹣60°＝30°，
∴MF＝NF＝BF＝3，
∴AM＝AF＋MF＝4＋3＝7，BM＝BN＝＝，
∴AB＝＝＝，
∴BC＝AB＝，
∴CN＝＝＝7，
∴CF＝CN＋NF＝7＋3＝10，
即CF的长为10．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒，0．
(1)当t=2秒时，求PQ的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）
【答案】(1)2
(2)秒
(3)5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
（1）
解：BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=2；
（2）
解：根据题意得：BQ=BP， 即2t=8﹣t，
解得：；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）
解：分三种情况：①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形；
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
29．如图1，在中，，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且．
(1)如果，连接CD．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，如果，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，．由，可证明．即可利用“ASA”证明，即得出；②由全等三角形的性质可知，结合题意可求出．在Rt中，再由勾股定理，得，即得出；
（2）延长FD至点M，使，连接AM，EM．易证，得出，从而判断，即证明．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知．最后在中，由勾股定理，得，即得出．
（1）
①证明：，
是等腰直角三角形．
点D是AB的中点，
∴．
又，
．
，
．
在与中．
．
；
②由①可知，
．
，
∴，即．
在Rt中，由勾股定理，得，
；
（2）
．证明如下：
如图，延长FD至点M，使，连接AM，EM．
点D为AB中点，
．
，
，
，
．
．
又∵，
是FM的垂直平分线，
．
在中，由勾股定理，得，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
30．问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．
【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE=x，则BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时．如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合．如图4-3中，当BE=AF时．如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
（1）
解：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴则△ABC关于的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）
∵与是关于互补三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在长方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
设AE=x，则BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x，连接EF．
∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时AE=AB+BE=AB+BC=18．
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．