苏科版数学八上期末专题训练 一次函数30道经典压轴题型专项训练（2份，原卷版+解析版）

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一次函数经典30道压轴题型专项训练
【重难点题型】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A．B．C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．
【详解】由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵①时， ，两直线平行时，始终有 ，
∴ ．
②当 时，设经过点 的直线为 ，有
，
解得：
∴

∵一次函数 的图象过定点 ，
不论 取何值，始终有 ，
∴
∴综上解得： 或．
即：且
故选：D
【点睛】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
2．如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在x轴上方作等边△AOF，证明△AOB≌△AFC（SAS），所以点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：点在直线上，
，
，
，
，
，，
在轴上方作等边，
，
，即，
又，，
≌，
，
点的轨迹为定直线，
作点关于直线的对称点，连接，，
，
当点、、在同一条直线上时，的值最小，
，，，
∴，AG=2×2=4，，
∴ ,
∴
∵关于M的对称，
∴，
的最小值
故选：D．
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好问题作出辅助线
3．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【答案】A
【分析】设BC=x，在Rt△ABC中根据∠A=30°，可得AB=2BC=2x，即有，由图②可知△ADP的最大面积为，由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时根据AD=BD，可得，再在Rt△ABC中，有，即有，解得x=2，即有BC=2，AB=4，，则问题得解．
【详解】设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2x，
∴利用勾股定理可得：，
由图②可知△ADP的最大面积为，
∵D点AB中点，
∴AD=BD，
由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，
此时根据AD=BD，可得，
即有，
又∵在Rt△ABC中，，
即有，
解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，，
则△ABC的周长为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，数形结合得出是解答本题的关键．
4．如图，分别是直线上的动点，若时，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，同理将点向左平移一个单位得到，进而即可求解．
【详解】解：如图，将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，
，即，
解得
如图，将点向左平移一个单位得到，
，即，
解得
综上所述，，
故选B
【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，根据题意作出图形分析是解题的关键．
5．如图，直线，相交于点，直线m交x轴于点，直线n交x轴于点，交y轴于点A．下列四个说法：①；②；③；④直线m的函数表达式为．其中正确说法的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】直接运用待定系数法求出函数解析式，再运用一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定求解此题．
【详解】解：设直线的解析式为，直线的解析式为．
由题意得，或．
，．
①由得，那么①正确．
②由，点得，．对于直线，当，，那么．根据勾股定理，得．
由①得，，得，那么．由，，，得，那么②正确．
③如图，
由题得，，，那么．由②得，那么，推断出，故③正确．
④由分析知，直线的函数表达式为，那么④正确．
综上，正确的有①②③④，共4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定．
6．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．4C．8D．6
【答案】C
【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．
【详解】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线yx可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动．
9．已知：如图①，长方形中，是边上一点，且，，点从出发，沿折线匀速运动，运动到点停止，的运动速度为，运动时间为，的面积为，与的关系图象如图②，则、的值分别为（ ）

A．6，10B．6，11C．7，11D．7，12
【答案】C
【分析】先通过t=5，y=40计算出BE长度和BC长度，根据BE+DE长计算a的值，b的值是整个运动路程除以速度即可．
【详解】解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t=5时，△BPC面积最大为40，也就是△BCE面积为40，
∴由勾股定理可得：BE=10．
又∵，
∴
∴BC=10．
∴ED=10-6=4．
当P点到D点时，
所用时间为：，
P点运动完整个过程需要时间t=（10+4+8）÷2=11s，
即b=11．
故选:C．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．
10．如图，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为（ ）
A．66B．108C．132D．162
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段AC扫过的面积．
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A，B的坐标分别为(2，0)，(12，0)，AC=BC=13，
∴AD=BD=AB=5，
∴CD=．
∴点C的坐标为(7，12)．
当y=12时，有12=−x+8，
解得：x=−4，
∴点C平移后的坐标为(−4，12)．
∴△ABC沿x轴向左平移7−(−4)=11个单位长度，
∴线段AC扫过的面积S=11CD=132．
故选：C．
【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
11．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（ ）

①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当的面积是30cm2时，
点H的运动时间是3.75s和9.25s．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
【详解】解：当点H在AB上时，如图所示，
AH=xt （cm），
S△HAF=×AF×AH=4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP=AB，
∴S△HAF=×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
S△HAF=×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP=EF，
S△HAF=×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，
S△HAF=×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF=4xt=4•5x=40（cm2），
∴x=2，AB=2×5=10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8-5=3（s），
∴BC=2×3=6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12-8=4（s），
∴CD=2×4=8（cm），
∴EF=AB-CD=10-8=2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP=EF，
∴S△HAF=×AF×EF=×8×2=8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE=AF-BC=8-6=2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2=1（s），
∴b=12+1=13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF=4xt=8t=30（cm2），
解得t=3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF=×AF×HP=×8×HP=30（cm2），
解得HP=7.5（cm），
∴CH=AB-HP=10-7.5=2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2=1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25=9.25（s），
故⑤正确．
故正确的有①③⑤，共计③个，
故选：B．
【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
12．如图，中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察图可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，从而得出，，当为的中点时，由勾股定理求出长度．
【详解】解：因为点是从点出发的，为初始点，
观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，
而从向移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为点，运动到点时，即时，，此时，
即，，，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
当点为中点时，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
13．图1，在中，，，点D是AC上一定点，点P沿边BC从点B运动到点C，连接PA，PD，设，．其中y关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数 图象最低点的纵坐标m的值为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】由图2数据可求AC、CD，作，，连接，交于点，，可由求EF，从而可求m；
【详解】：由图2，当时，P与C重合，
∴
∴
此时
∴
如图，作，，连接，交于点，
此时最小
∵
∴
∴
∴F与点D重合
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关知识，结合图象数据判断特殊点位置，求出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键．
14．甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点地与乙车同时出发，到达地休息半小时后，立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程（千米）与乙车行驶的时间（小时）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙车行驶的速度为每小时40千米B．甲车到达地的时间为7小时
C．甲车返回地比乙车到地时间晚3小时D．甲车全程共行驶了840千米
【答案】D
【分析】A、根据第三段函数图象甲车到达B地后休息半小时乙车行驶的路程和时间计算；B、根据第一段函数图象计算两车的速度差，第二段函数图象计算甲车从相遇至甲车到达B地用时；C、根据第四段函数图象算出甲车返回速度，算出两车到达目的地的时间；D、借用C选项数据AB=420，BC=360计算即可．
【详解】解：A、乙车行驶的速度为每小时40千米，
乙车速度（千米/时），正确；
B、甲车到达地的时间为7小时，
两车速度差，（千米/时），
第一次相遇后甲车到达B地时间，（小时），
甲车全程用时间，3+4=7（小时），正确；
C、甲车返回C地比乙车到地时间晚3小时，
∵A、C两地相距60千米，甲车去时速度，40+20=60（千米/时）
∴A、B两地距离，（千米），
∴B、C两地相距，420-60=360（千米），
甲车返回时速度，（千米/时），
甲车返回C地用时，（小时），
乙车比甲车晚到达B地时间，（小时），
甲车比乙车晚到达目的地时间，（小时），正确；
D、甲车全程共行驶了840千米
由C知，420+360=780（千米），错误，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练掌握一次函数的性质，路程与速度、时间的关系．
15．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则___________．
【答案】
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解．
【详解】解：∵直线，
∴直线经过点；
∵直线：，
∴直线：经过点．
∴无论k取何值，直线与的交点均为定点．
∵直线与x轴的交点为，
直线：与x轴的交点为，
∴，
∴；
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．
16．在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．
【答案】
【分析】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．
【详解】解：作、垂直于轴于、，
则，
则，
为等腰直角三角形，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，，设，得，
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，
当点与点重合时最小，
此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：
，解得：，
，
联立：，解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线交于点M，与直线交于点N，边CD与直线交于点P，与直线交于点Q，设运动时间为t（秒）．
（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长______；
（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为_______．
【答案】 或或
【分析】（1）先求得两直线的交点，根据点在直线上，分别求得的坐标，根据纵坐标之差即可求解；
（2）同理求得的坐标，计算，进而求得特殊位置时，重合，时，点位于轴，与点重合，即可求解．
【详解】（1）解：
解得，
∴直线与直线的交点为
∴当0≤t≤4时，在点上方，
∵将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，
边AB与直线交于点M，与直线交于点N，边CD与直线交于点P，与直线交于点Q，
∴的横坐标为，
∴，
∴
故答案为：
（2）当0≤4时，
∵
∴
即，
∴
∴
当
解得
∴当时两点重合，
同理，当时，两点重合，
∵
当时，即时，点在轴上，
∴当时,同理可得，为定值，
综上所述，或时，，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，求得的坐标是解题的关键．
18．如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则边的长是____________．
【答案】
【分析】由图象可知，BP⊥AC时，AP=1，由勾股定理求出BP，再求PC求BC即可．
【详解】解：由图象可知，AB=3，AC=6，当x=1，即AP=1时，BP⊥AC，如图，
在Rt△ABP中，
BP=，
∵PC=6-1=5，
∴Rt△CBP中，
BC=，
故答案为：．
【点睛】本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想．解答时，注意利用勾股定理计算相关数据．
19．如图，已知点在直线上，和的图像交于点B，且点B的横坐标为8，将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，则点Q的坐标为______．
【答案】（，）
【分析】将点A的坐标代入，即可求出直线的表达式，令x=8，即可求出点B的坐标，将点B的坐标代入直线，即可求出直线的表达式，将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，过点Q作QE⊥AQ交AB于点E，过点Q作，过点A作AF⊥FG于点F，过点E作EG⊥FG于点G，根据全等三角形对应边相等，即可将点E的坐标表示出来，最后将点E的坐标代入的函数表达式，即可求解．
【详解】解：把点代入直线得：-5=2×2+b，解得：b=-9，
∴直线的表达式为：y=2x-9，
当x=8时，y=2×8-9=7，
∴B（8，7），
把点B（8，7）代入直线得：7=8k-1，解得：k=1，
∴直线的表达式为：y=x-1，
将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，过点Q作QE⊥AQ交AB于点E，过点Q作，过点A作AF⊥FG于点F，过点E作EG⊥FG于点G，
∵∠G=∠F=∠AQE=90°，
∴∠EQG+∠AQF=90°，∠∠EQG+QEG=90°，
∴∠AQF= QEG，
∵∠EAQ=45°，∠AQE=90°，
∴△AQE为等腰直角三角形，则AQ=QE，
在△AQF和△QEG中，
∠AQF= QEG，∠G=∠F，AQ=QE，
∴△AQF≌△QEG
∴AF=QG，FQ=EG，
设点Q（a，b），
∵点Q在直线上，
∴y=x-1，即点Q（a，a-1），
∵A（2，-5），
∴AF=QG=2-a，FQ=EG=（a-1）-（-5）=a+4，
∴点E的横坐标为：a+（a+4）=2a+4，
点E的纵坐标为：（a-1）+（2-a）=1，
则E（2a+4，1）
将点E的坐标代入直线的表达式为：1=2（2a+4）-9，解得：a=，
∴a-1=-1=，
∴Q（，）
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的表达式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关内容是解题的关键．
20．2019年春，在一次长跑拉力赛中，小明和小赵运动的路程S（千米）随时间t（分）变化的图象（全程）如图所示．当两人行驶到离出发点4.5千米时第一次相遇，请问两人比赛开始后________分钟时第二次相遇．
【答案】32
【分析】根据甲8-28分钟运动了2.5千米，可求出甲这段时间的速度，也可求出4.5千米时，对应的时间为24分，设直线OD的解析式为y=kx，将点(24，4.5)代入可得出k的值，继而将x=48代入可得出比赛的全程；从而得出点C坐标，即求出直线BC的解析式，联立直线OD与BC的解析式即可得出第二次相遇的时间．
【详解】解：根据甲8-28分钟运动了5-2.5=2.5(千米)，
所以可得甲这段时间的速度为：(km/分)，
故从2.5千米运动至4.5千米需要=16(分钟)，
即4.5千米对应的时间为16＋8=24(分钟)；
设直线OD的解析式为y=kx，将点(24，4.5)代入可得：24k=4.5，
解得：k=，
故直线OD的解析式为y=x，
当x=48时，y=9，
即这次比赛的全程是9km；
∴点C的坐标为(44，9)， 点B的坐标为(28，5），
设直线BC的解析式为y=ax+b，则
，
解得：，
即直线BC的解析式为y=，
联立直线OD与直线BC的解析式可得：
，解得：，
即第二次相遇的时间是第32分钟．
故答案为：32．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
21．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，垂足为，将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落到直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落到直线上，以此类推，．若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据题意可知O2、O4、落在直线上，因此O8也落在直线上，只要求出OO8的长度，即可求出O8坐标，而OO8=OO2，而OO2可以根据直角三角形求出．
【详解】解：在Rt△AOB中，OB=1，∠BAO=30°，
∴AB=，OA=2．
由旋转得：，
，
，
∴
观察图象可知，O8在直线时，
，
∴O8的纵坐标，O8的横坐标
∴O8的坐标为．
故答案为：．
【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化——旋转以及直角三角形的性质，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法．
22．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点，在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．动点在边上，点是坐标平面内的点．当点在第一象限，且在直线上时，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______．
【答案】；；
【分析】分别以的三个顶点为直角顶点分情况讨论，设出点Q的坐标，通过作辅助线得到全等三角形，再根据全等三角形的等边建立关系，求出Q坐标中的未知数，从而求得Q的坐标．
【详解】（1）当点A为直角顶点时，点Q在第一象限，
如图1，过点Q作，交AB所在直线于点H，
则
，
设，则
解得
,
又与点P在BC边上相矛盾，
∴此种情况下不存在满足题意的点．
（2）当P为直角顶点时，点Q在第一象限，
如图2，过点Q作交CB的延长线于点H，
则
设，则
解得
（3）当Q为直角顶点时，点Q在第一象限，
如图3，过点Q'作于点G'，交CB于点H'，
则
设，
则
解得
设，
同理，得
解得
综上所述，点Q的坐标可以为，，．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的性质以及分类讨论思想，解决本题的关键是合理利用全等三角形的等边进行分类讨论．
23．甲、乙两人沿相同路线同时从A地出发去往B地，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，甲发现自己有物品落在A地，于是立即以之前速度的2倍跑回A地，在到达A地并停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B地．乙在途中某地停留了5分钟，之后以原速继续前进，最终两人同时到达B地，甲、乙两人的距离y（米）与甲行进时间x（分）之间的关系如图所示，则A、B两地之间的距离为_____．
【答案】1200米
【分析】设甲开初行驶的速度为a米/分，乙的速度为b米/分，根据图象“5分钟两人相距200米”知两人速度差为40米/分，再根据函数图象“甲以2倍速度返回A地时，两人相距900米”知甲速度的倍与乙速度和为，这样便可求出两人的速度，设甲到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分，根据函数图象“19.5分钟时，两人相距540米”列出方程求得c，最后设t分钟时甲乙两人到达终点，根据甲后面时间（t﹣5﹣2.5﹣8）分钟的行程为A、B距离，与乙总共行驶时间（t﹣5）分钟的行程也为A、B间的距离，两距离相等，列出方程求得t，便可求得A、B的距离．
【详解】解：设甲开初行驶的速度为a米/分，乙的速度为b米/分，由题意得，
，
解得，，
设甲到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分，由题意得，
120×（19.5﹣5）﹣（19.5﹣5﹣2.5﹣8）c＝540，
解得，c＝300，
设t分钟时甲乙两人到达终点，由题意得，
120（t﹣5）＝300（t﹣5﹣2.5﹣8），
解得，t＝22.5，
∴A、B两地的距离为：120×（22.5﹣5）＝2100（米）．
故答案为：2100．
【点睛】本题是函数图象与实际的行程问题结合题型，主要考查一次函数的应用，明确题意，利用-次函数的性质和数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，求得点的轨迹，作如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，
求得的坐标，继而根据即可求解．
【详解】解：如图，设，过点作轴，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
点在上，
如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，
令，得，则，
的最小值．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，求得点的坐标是解题的关键．
25．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点（0，3），已知，
(1)点A的坐标为____________；直线的表达式为____________；
(2)在y轴上有一点（0，4），在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若x轴上的动点Q在点A的右侧，以Q为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长，交y轴于点E，当Q运动时，点E的位置是否发生变化？若不变，请求出点E的坐标；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)当Q运动时，点E的位置不发生变化，点E的坐标为
【分析】（1）设点A坐标为，则，由（0，3），得 ，，由勾股定理解得，从而 ，再用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设点，可得，分情况三种①；②；③，分别求出x的值即可得解；
（3）过点D作轴，由AAS证得，从而，进而为等腰直角三角形，故
【详解】（1）解：设点A坐标为，则，
由，（0，3），得 ，，
由勾股定理得，
解得，

设直线的解析式为，把分别代入，
得，
解得，
故直线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：在x轴上存在点P，使是等腰三角形，设．
依题意得，
①当时，点P位置如图中的点
∵，
∴
∴
②当，时点P位置如图中的点
此时，，则在中，
，
解得：．
∴
③当时，点P位置如图中的点
∴，
解得：或．
∴，
综上所述，点P的坐标为或或或
（3）解：当Q运动时，点E的位置不发生变化，点E的坐标为
理由如下：
过点D作轴，则，则
∵为等腰直角三角形，
∴
∵在中有
∴
在和中
∴
∴
设，则，
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等是解答此题的关键．
26．如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为.
(1)点的坐标为：___________．
(2)求直线的函数关系式．
(3)在轴上有一个点，已知直线把的面积分为两部分，请直接写出点的坐标．
(4)在线段上是否存在点，使的面积为4?若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
(5)直线与有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)存在，
(5)
【分析】（1）作轴于点H．利用“一线三等角”模型证明≌，推出，，再根据，即可求解；
（2）将，代入，利用待定系数法求解；
（3）直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比，先求出N点的坐标，再分和两种情况讨论，即可求解；
（4）设，根据列出等式即可求解；
（5）分别计算直线经过，时的b值，结合图象即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：如图，作轴于点H．
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
点的坐标为；
（2）解：设直线的函数关系式为，
将，代入，
得：，
解得：，
直线的函数关系式为；
（3）解：直线的函数关系式为，
当时，，解得，
，
．
由题意知，直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比．
分两种情况：
当时，，
，
；
当时，，
，
，
点的坐标为或；
（4）解：点P所在直线的函数关系式为，
设，
，
，
即，
解得，
，
，
故存在点使的面积为4，点的坐标是；
（5）解：当直线经过时，将代入，
可得；
当直线经过时，将代入，
可得，
解得；
结合下图可知，直线与有公共点时，的取值范围为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，在坐标系中求三角形的面积，解题的关键是求出点B的坐标，以及熟练应用数形结合的思想．
27．我校八年级组织“义卖活动”，某班计划从批发店购进甲、乙两种盲盒，已知甲盲盒每件进价比乙盲盒少5元，若购进甲盲盒30件，乙盲盒20件，则费用为600元．
(1)求甲、乙两种盲盒的每件进价分别是多少元？
(2)该班计划购进盲盒总费用不超过2200元，且甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元．
①若准备购进甲、乙两种盲盒共200件，且全部售出，则甲盲盒为多少件时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
②因批发店库存有限（如下表），商家推荐进价为12元的丙盲盒可供选择．经讨论，该班决定购进三种盲盒，其中库存的甲盲盒全部购进，并将丙盲盒的每件售价定为22元．请你结合方案评价表给出一种乙、丙盲盒购进数量方案．
【答案】(1)甲盲盒的每件进价是10元，乙盲盒的每件进价是15元
(2)①当甲盲盒为160件时，所获得总利润最大，最大利润为1680元 ②6，92
【分析】（1）设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，根据题意可得，求解即可得甲、乙两种盲盒每件进价；
（2）①设购进甲盲盒m件（），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为元，根据购进盲盒总费用不超过2200元，列不等式并求解可得，则盲盒售出后总利润，由一次函数的性质即可获得答案；②设购进乙盲盒a件 ，购进丙盲盒b件，根据购进盲盒总费用不超过2200元，可得 ，设全部售出所获得利润为元，则，即可获得答案．
（1）
解：设甲盲盒的每件进价是x元，则乙盲盒的每件进价是（x+5）元，
根据题意，可得 ，
解得元，则元，
所以，甲盲盒的每件进价是10元，乙盲盒的每件进价是15元；
（2）
解：①设购进甲盲盒m件（），则购进乙盲盒（200-m）件，售出所得利润为元，
根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，
可得 ，
解得 ，
∴，
∵甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元，
∴，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，有元，
答：当甲盲盒为160件时，所获得总利润最大，最大利润,1680元；
②设购进乙盲盒a件 ，购进丙盲盒b件，
根据题意，购进盲盒总费用不超过2200元，
∴，
∴，
设全部售出所获得利润为元，
则，
∴，
∴当时，可取最大值，，
此时，，
∴，
∵a为正整数，
∴，
∴购进乙盲盒6件，购进丙盲盒92件时，盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少．
故答案为：6，92．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出所需方程、不等式以及函数关系式．
28．已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C在线段AB上，AOC与BOC的面积相等．
(1)求点C的坐标；
(2)若点D在x轴的正半轴上，点D的横坐标为t，连接CD，OCD的面积为S，求S与t的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，将射线CD绕着点C逆时针旋转45°，得到射线CE，射线CE交y轴于点E，连接DE，若ODE的周长为12，求直线DE的解析式．
【答案】(1)
(2)（t＞0）
(3)
【分析】（1）△AOC与△BOC的面积相等，而OA=OB=4，则，则设点C的坐标为（m，-m），即可求解；
（2）由S=×DO×，即可求解；
（3）证明△HMC≌△DNH（AAS），求出点H的坐标为（t， t+2），得到直线HC的表达式为y=（x+2）+2，求出OE=×2+2，进而求解．
（1）
解：对于y=x+4，令y=x+4=0，解得x=-4，令x=0，则y=4，
故点A、B的坐标分别为（-4，0）、（0，4），
∵，
而OA=OB=4，
∴，
则设点C的坐标为（m，-m），
将点C的坐标代入y=x+4得：-m=m+4，解得m=-2，
∴点C的坐标为（-2，2）；
（2）
解：由题意得：S=×DO×=t•2=t（t＞0）；
（3）
解：由题意得：12=OE+OD+ED，即12=t+OE+，
设y=t+OE，则，
∴12=y+，
∴144-24y+=-，
∴144-24（t+OE）=-
整理得：t•OE-12（t+OE）+72=0，
解得：OE=．
过点D作DH⊥CE交CE的延长线于点H；过点H作x轴的平行线，交过点D与y轴的平行线于点N，交过点C与y轴的平行线于点M，
∵∠ECD=45°，则△CHD为等腰直角三角形，则DH=CH，∠DHC=90°，
设点H的坐标为（a，b），
∵∠NHD+∠MHC=90°，∠NHD+∠HDN=90°，
∴∠MHC=∠HDN，
∵∠HMC=∠DNH=90°，DH=CH，
∴△HMC≌△DNH（AAS），
∴MH=DN，MC=HN，
即a+2=b，b-2=t-a，解得，
即点H的坐标为（t，t+2），
设直线HC的表达式为y=kx+b，将H，C的坐标代入得：
，
解得，
∴y=x++2=（x+2）+2，
当x=0时，y=×2+2，
∴OE=×2+2=．
解得：t=-6（舍去）或4，
故点D的坐标为（4，0），
则OE==3，故点E（0，3），
设直线ED的表达式为y=sx+n，则，解得，
故直线DE的表达式为y=-x+3．
【点睛】本题考查了是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程组、用待定系数法求一次函数解析式、面积的计算等，综合性强，难度较大．
29．已知直线y＝﹣2x＋4与交y轴于点A，交x轴于点B，直线CD经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，若ABCD．
(1)求直线CD的解析式；
(2)如图（1）若点E，F分别为AB，CD的中点，求证：E，O，F三点共线；
(3)如图（2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），直线AM交CD于点N，求△ABM与△CNM面积和的最小值．
【答案】(1)y＝﹣2x﹣2
(2)见解析
(3)12﹣12
【分析】（1）由ABCD，，设解析式为，用待定系数法即可得解析式为；
（2）先求出，，而为中点，为中点，可得、坐标，设直线为，用待定系数法可求出直线为，即可证明在直线上，即，，三点共线；
（3）设，可得直线为，解得，，，又，即可得，从而得到答案．
（1）
解：∵ABCD，AB解析式是y＝﹣2x+4，
∴设CD解析式为y＝﹣2x+b，
将C（﹣1，0）代入得0＝2+b，
∴b＝﹣2，
∴CD解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）
证明：在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴A（0，4），B（2，0），
∵E为AB中点，
∴E（1，2），
在y＝﹣2x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（0，﹣2），C（﹣1，0），
为中点，
，，
设直线为，将，，代入得：
，
解得，
直线为，
在中，当时，，
在直线上，即，，三点共线；
（3）
设，其中，直线为，
，
，
直线为，
解
得，
，，
，
∵a>0,b>0时，有,
∴,
，
，
，
即，
与面积和的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三点共线、不等式等知识，解题的关键是用含t的代数式表示△ABM与△CNM面积和．
30．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点的中点为，称点为点的关于点的“平移中点”．已知，，点为点的关于点的“平移中点”．
(1)①若，，则点的坐标为______；
②若，点的横坐标为，则的值为_____（用含的代数式表示）．
(2)已知，点在直线上．
①当点在轴上时，点的坐标为______；
②当点在第一象限时，的取值范围是______．
(3)已知正方形的边长为，各边与轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点．
①当时，在点运动过程中，点形成的图形的面积是_______；
②当点在直线上，在点运动过程中，若存在点在正方形的边上或者内部，则的取值范围是_______．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
(3)①；②
【分析】（1）①由定义可求，再由中点坐标公式求出点的坐标即可；
②根据的横坐标可建立方程，从而可求；
（2）①求出，，由题意可得，求出即可求解；
②由①可得，，即可求出的范围；
（3）①求出，，由此可知点形成的正方形边长为，则可求出点形成的图形的面积；
②由题意可知，则，，再由，，当时，可得，则时，存在点在正方形的边上或者内部；当时，可得，则时，存在点在正方形的边上或者内部，即可求的范围．
（1）
解：①∵，，
∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
∴与的中点的坐标是，即．
故答案为：．
②∵，
∴，
∵，
∴点的横坐标为，
∵点的横坐标为，
∴．
故答案为：．
（2）
①∵，点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵点在第一象限，
∴，，
∴．
故答案为：．
（3）
①∵当时，，
∵，
∴，
∴，
∵点为正方形上的动点，
∴点运动形成的图形也是正方形，
∵正方形的边长为，
∴点运动形成的正方形的边长为，
∴点运动形成的图形的面积是．
故答案为：．
②∵点在直线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，各边与轴平行或者垂直，中心为，
又∵点为正方形上的动点，
∴，，
当时，，
∴，
∴时，存在点在正方形的边上或者内部，
当时，，
∴时，存在点在正方形的边上或者内部．
综上所述，当时，存在点在正方形的边上或者内部．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义“平移中点”， 点平移的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标公式，象限内点坐标的特点，一元一次不等式组．熟练掌握―次函数图像上点的坐标特征，理解定义，灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键．
方案评价表
方案等级
评价标准
评分
合格方案
仅满足购进费用不超额
1分
良好方案
盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用不超额
3分
优秀方案
盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少
4分
盲盒类型
甲
乙
丙
批发店的库存量（件）
100
78
92
进货量（件）
100
___________
___________