安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题-A4

这是一份安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题-A4，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共8题，共40.0分)
1．已知向量，且，则实数m的值等于（ ）
A. B. -2
C. 0 D. 或-2
2．直线l：x+y-3=0的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 90°
3．已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4．已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A. x-y-3=0 B. x+y+3=0 C. x+y-3=0 D. x-y+3=0
5．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2-2x-6y+1=0的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 内含
6．两个圆C1：x2+y2-2x+4y=0与C2：x2+y2-2mx+4my+5m2-20=0的公切线恰好有2条，则m的取值范围是（ ）
A. （-2，0）
B. （-2，0）∪（2，4）
C. （2，4）
D. （-∞，0）∪（4，+∞）
7．设a＜0，两直线x-a2y+1=0与（a2+1）x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合．若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题(共3题，共18.0分)
9．已知A（-2，-4），B（1，5）两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为（ ）
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
10．已知圆，圆，圆，圆，直线l：x=2，则（ ）
A. 与圆C1，C4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆C2外切、C3内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点C1且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆C1，C2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
11．直线l：x+y=t和圆O：x2+y2=20交于点A和B，且△AOB的面积为整数，则所有满足要求的正整数t的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
三、填空题(共3题，共15.0分)
12．倾斜角为150°，在y轴上截距为-2的直线方程为_____．
13．在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，∠BAD=∠A'AB=∠A'AD=60°，AB=3，AD=4，AA'=5，则AC'=_____．
14．直线的斜率为k,若-1＜k＜，则直线的倾斜角的范围是_____．
四、解答题(共5题，共77.0分)
15．(13分)已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在的直线方程．
16．(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC=，AB=2，PA⊥平面ABCD．
（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD．
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长．
17．(15分)已知=（1，-1，）
（Ⅰ）求与方向相同的单位向量；
（Ⅱ）若与单位向量=（0，m,n）垂直，求m,n.
18．(17分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
（Ⅰ）求证：D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求直线D1F与平面BDE之间的距离．
19．(17分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=a,侧棱AA1=2，D，E分别是CC1，A1B1的中点．
（1）求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积（用字母a表示）；
（2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，
①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值；
②求点A1到平面ABD的距离．
试卷答案
1．【答案】B
【解析】根据平行得坐标的比相同，即可解得实数m的值．
解：向量，且，
则，解得m=-2．
故选：B．
2．【答案】C
3．【答案】C
【解析】由于与不共线，且、、三向量共面，利用平面向量基本定理可知：存在实数λ1，λ2使得．解出即可．
解：∵与不共线，
∴可取作此平面的一个基向量．
∵、、三向量共面，∴存在实数λ1，λ2使得．
∴，
解得
故选：C．
4．【答案】C
5．【答案】C
【解析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d,然后求出R-r和R+r的值，判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2-2x-6y+1=0分别化为标准方程得：
（x+2）2+（y+1）2=4，（x-1）2+（y-3）2=9，
故圆心坐标分别为（-2，-1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，
∵圆心之间的距离d==5，R+r=5，
则两圆的位置关系是相外切．
故选：C．
6．【答案】B
【解析】利用两圆的方程求出两圆的圆心和半径，将问题转化为两圆相交，利用圆与圆的位置关系求解即可．
解：因为两圆的公切线恰有2条，
所以两圆相交，
圆C1的圆心C1（1，-2），半径为r=，
圆C2的圆心C2（m,-2m），半径为R=2，
圆心距为C1C2=，
所以，
解得-2＜m＜0或2＜m＜4．
故选：B．
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】AB
10．【答案】ABC
【解析】根据题意，由双曲线的定义分析A，由椭圆的定义分析B，由抛物线的定义分析C，由垂直平分线的定义分析D，综合可得答案．
解：根据题意，设要求动圆的圆心为M，其半径为r,
圆，圆心为（-2，0），半径为1，
圆，圆心为（-1，0），半径为1，
圆，圆心为（1，0），半径为4，
圆，圆心为（2，0），半径为2，
依次分析选项：
对于A，要求动圆与圆C1，C4都外切，则|MC4|=r+2，|MC1|=r+1，则有|MC4|-|MC1|=1，故要求动圆的圆心轨迹是双曲线的一支，A正确；
对于B，要求动圆与圆C2外切、C3内切，则|MC2|=r+1，|MC3|=2-r,则有|MC2|+|MC3|=3，故要求动圆的圆心轨迹为椭圆，B正确；
对于C，要求动圆过点C1且与直线l相切，则M到点C1的距离与点M到直线l的距离相等，故要求动圆的圆心轨迹为抛物线，C正确；
对于D，圆C1，C2都外切的圆的圆心，其轨迹是与C1C2垂直的两条射线，D错误．
故选：ABC．
11．【答案】AD
12．【答案】
【解析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．
解：∵tan150°=，
∴所求直线的斜率为，
又直线在y轴上的截距为-2，
由直线方程的斜截式得：，
化为一般式得：．
故答案为：．
13．【答案】
【解析】利用空间向量加法法则，得=，由此能求出AC'的值．
解：在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，
∠BAD=∠A'AB=∠A'AD=60°，AB=3，AD=4，AA'=5，
∵=，
∴=（）2
=+2++2
=9+16+25+3×4+3×5+4×5
=97，
∴AC'=．
故答案为：．
14．【答案】[0，）∪（，π）
【解析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出α的范围．
解：直线l的斜率为k,倾斜角为α，若-1＜k＜，
所以-1＜tanα＜，
所以α∈[0，）∪（，π）．
故答案为：[0，）∪（，π）．
15．【解析】两圆的方程作差即可得答案．
解：两圆的方程作差可得
（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0，
∴公共弦AB所在的直线方程为：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0，
16．【解析】（1）先证明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设P（0，-1，a）（a＞0），求出平面PBC与平面PDC的法向量，利用向量夹角公式建立关于a的方程，解出即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，则BD⊥平面PAC，
∵BD在平面QBD内，
∴平面PAC⊥平面QBD；
（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设P（0，-1，a）（a＞0），则，
设平面PBC的一个法向量为，则，可取，
同理可求平面PDC的一个法向量为，
∴，解得a2=2，
∴．
17．【解析】（I）利用即可得出．
（II）由于，，可得=-m+n=0，=1．解出即可．
解：（I）==．
（II）∵，，
∴=-m+n=0，=1．
联立解得或．
18．【解析】（Ⅰ）推导出D1F∥BE，由此能证明D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面BDE所成角的正弦值．
（Ⅲ）由D1F∥平面BDE，=（0，0，2），平面DBE的法向量=（1，-1，1），利用向量法能求出直线D1F与平面BDE之间的距离．
解：（Ⅰ）求证∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
AA1=2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
∴D1F∥BE，
∵D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，
∴D1F∥平面BDE；
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
=（0，1，-1），=（1，1，0），=（0，1，1），
设平面DBE的法向量=（x,y,z），
则，取x=1，得=（1，-1，1），
设直线D1E与平面BDE所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线D1E与平面BDE所成角的正弦值为．
（Ⅲ）∵D1F∥平面BDE，=（0，0，2），平面DBE的法向量=（1，-1，1），
∴直线D1F与平面BDE之间的距离为：
d===．
19．【解析】（1）直接利用棱柱的体积公式求解即可；
（2）①以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量，利用G为E在△ABD上的投影，得到以，利用共线定理可求出a的值，再利用线面角的计算公式求出正弦值，结合同角三角函数关系即可求出答案；
②利用①中求出a的值，从而得到的坐标，利用线面距离的计算公式求解即可．
解：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=a,侧棱AA1=2，
∴直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为=S△ABC•AA1==a2．
（2）如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，1），A1（a，0，2），E（a，a，2），G（，，），
所以，
设平面ABD的法向量为，
则，即，
令x=1，则y=1，z=a,
所以，
①G为E在△ABD上的投影，则EG⊥平面ABD，所以，
又，
所以，解得，
所以，
故，
则直线EB与平面ABD所成角的余弦值为；
②由①可知，，所以，又，
所以点A1到平面ABD的距离．