安徽省2025届高三上学期12月名校阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省2025届高三上学期12月名校阶段检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A.B.C.1D.2
2．已知平面向量a，b，，，则a在b方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．已知，，，则的最小值为( )
A.4B.2C.D.
4．已知等比数列，满足，，成等差数列，且，则数列的公比为( )
A.B.C.2D.3
5．已知，则的值为( )
A.B.C.D.
6．已知随机事件A，B，，，，则等于( )
A.B.C.D.
7．已知函数，定义域为，则满足不等式的a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．棱长为2的正四面体的表面上有动点P，满足，则点P的轨迹总长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效.某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是( )
A.
B.在40天内，每天的平均销售额约为4.10万元
C.在40天内的销售额的第分位数约为4.75万元
D.若规定每天的销售额不低于3万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为0.75
10．已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数图象的对称轴方程为
C.函数在区间上有2024个零点
D.函数与的图象关于点对称
11．已知定义在R上的函数，满足，，，则( )
A.B.为偶函数
C.的图象关于点对称D.
三、填空题
12．集合，，则________.
13．空间直线，，两两平行，与、之间的距离均为2，且与之间的距离为3，点A、B在上，且，点C在上，点D在上.则三棱锥的体积为________.
14．已知数列，的通项公式分别为，，，，从数列中任取一项，则该项也是数列中的项的概率为________.(结果用分数表示)
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若的面积为，角A的平分线交BC于D，，求a.
16．某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场"投篮换零食"的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是.
（1）求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率；
（2）记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望.
17．已知四棱柱，各面均为菱形，.
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
18．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，函数有三个极值点，，，证明：.
19．若项数有限的数列，满足，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质D.
（1）判断数列，1，2是否具有性质D；
（2）若，数列具有性质D，是中的任意一项，
①证明：是中的项；
②证明：当时，数列为等比数列.
参考答案
1．答案：C
解析：设，则，整理得，
故，，得z的虚部为1.
故选C.
2．答案：C
解析：由于，由a在b方向上的投影向量.故选C.
3．答案：A
解析：，
当且仅当，时取等号.
故选A.
4．答案：C
解析：设公比为q，则，故或，当时，，不符合，故.
故选C.
5．答案：B
解析：，则，.故选B.
6．答案：B
解析：由条件概率公式有，
故，，故，
由于，，故.
故选B.
7．答案：D
解析：设，则，
显然为偶函数，，即为，故，
由于函数在上为减函数，故，
解得或.
故选D.
8．答案：A
解析：如图，H，I，G，F依次为棱，，，的中点，因为，则点P的轨迹由平面内的弧，平面内的弧，平面内的弧，平面内的弧构成；其中弧与弧的长度相等，弧与弧的长度相等；易得弧的长等于，B、E点在平面内的射影点O、为高的三等分点，故，易得，弧长等于；故点P的轨迹的长为.故选A.
9．答案：ACD
解析：对，故A正确；
对B，40天内的平均销售额约为万元，故B错误；
对C，40天内销售额的第分位数为万元，故C正确；
对D，某天未完成任务的概率，故某天完成任务的概率约为0.75，故D正确.故选ACD.
10．答案：AD
解析：由图象可知，设的最小正周期为T，
则，解得，
由图可得，又，所以，
故，从而；
对A，，故A正确；
对B，由，得，所以函数图象的对称轴方程为，故B错误；
对C，由，得，故，即，，故在区间上有零点2025个，故C错误；
对D，若函数与的图象关于点对称，
则恒成立，即，
即，故，，，
得，，，所以函数与的图象关于成中心对称，故D正确.
故选AD.
11．答案：BCD
解析：对A，令，则，
令，则，故，
故，A错误；
对B，令，则，即，即，故为偶函数，B正确；
对C，由，故，令，
则，即，即，故的图象关于点对称，C正确；
对D，由，，故是周期为4的周期函数，从而，D正确.
故选BCD.
12．答案：
解析：由已知，，，.
13．答案：
解析：由已知，则，而D到平面的距离即为直线到直线、确定平面的距离，等于，
故三棱锥的体积为.
14．答案：
解析：设两数列中相同数构成数列，则，
设，则，
而，不在中，故；，在中，
故，故，
所以为等比数列，通项为，
由于，即，因为，解得，
故从数列中选取项，使得该项也为中的项的概率为.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理及已知有，
由，有，
故，
由于，故，因，故.
（2）由，
有，
即，
故，，
在中，，
故.
16．答案：（1）；
（2）分布列见解析，
解析：（1）设"甲同学获得一个零食"为事件A，"乙同学获得一个零食"为事件B，"甲、乙两名同学恰好各获得一个零食"为事件C.
则，，
所以；
所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率为.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4
则.
X的分布列为：
所以
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：连接，，交于点O，
连接，，，显然，
已知，且，故平面，所以，
由于O为中点，所以，由于，，
则，所以.
（2）方法1：
已知，，，则，；
作，则，而，
故为二面角的平面角，
在中，，所以，
又，所以中，；
所以二面角的余弦值为.
方法2：已知，，，则，而，
故，所以；
以O为坐标原点，，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
则有，，，
，，，
，即有，
设平面的法向量为，
由，有，取，
则，，所以；
设平面的法向量为，
由，有，取，
则，，所以；
则.
由图知，二面角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1），，，
设，则，
当时，，故在上单调递增，从而，
故时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
故时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），由（1）知，，，，，，
又，，即，
又，故在上有且仅有一个零点，
即在上有一个零点.
令，，，
在上单调递增，故，
故在上单调递增，，
又，，又，
，故在上有唯一零点，在上有一个零点.
又，1是的一个零点，
又，，，.
从而，，，，，，，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
以下证明：，由于，
即，
从而，
下证：，
令，即证明：，.
令，，，
故在上单调递增，，
故在上单调递增,,得证!
19．答案：（1）数列1，2具有性质D；
（2）①证明见解析；②证明见解析
解析：（1）显然或1或2，故数列1，2具有性质D.
（2）因为数列具有性质D，且是中的任意一项，
①令，则或是数列中的项，
由于，且，则，，
故不是数列中的项，且是数列中的项，
故，是数列中的项，则满足.
当时，，则不是数列中的项，从而是数列中的项；
综上，是数列中的项.
②由①知，
由，则，
故，，…，，
即，(I)
由于，则时，，故为数列中的项，
而，
故，，……，，，即，
由于，故，故(II)
由(I)(II)有，故，
所以当时,数列为等比数列.
X
0
1
2
3
4
P