陕西省咸阳市秦都区2024-2025学年九年级上学期期末模拟数学试卷-A4

这是一份陕西省咸阳市秦都区2024-2025学年九年级上学期期末模拟数学试卷-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知1为关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，则a值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．3B．6C．8D．10
4．如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．反比例函数y=−mx与一次函数y＝mx+m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形ABCD中，AE＝3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE．则BD的长是（ ）
A．33B．6C．43D．12
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
8．已知正比例函数y1＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y2=nx(n≠0)的图象的一个交点坐标为（1，3），则不等式y1＜y2的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣3＜x＜0或0＜x＜3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．阳光下广告牌的影子属于 投影（填“中心”或“平行”）．
10．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OAOD=25，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为 ．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，若BO＝3，菱形ABCD的面积为12，则AH的长为 ．
12．如图，点A在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于4，BC＝4OC，则k的值为 ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．用适当的方法解下列方程
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x（x﹣3）+x＝3．
15．用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
（2）如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小立方块．
16．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当y＝9时，求x的值．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标．
20．某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）．
（1）甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率．
21．某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？
22．如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？
23．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长．
25．如图，点A在第一象限，且在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的横坐标为1，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接BC，点D（m，n）（m＞1）在反比例函数图象上，满足△ACD的面积等于△ABC的面积，求直线BD的解析式．
26．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
2024-2025学年陕西省咸阳市秦都区九年级（上）期末数学模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知1为关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，则a值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】将x＝1代入方程可得1﹣a+1＝0，解一元一次方程即可得解．
【解答】解：∵1为关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的根，
∴1﹣a+1＝0，
∴a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．下列几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三视图中主视图的定义解答即可．
【解答】解：A．正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
C．球体的主视图是圆形，故本选项符合题意；
D．圆柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是三视图中主视图的定义，即从几何体的正面观察到的图形叫做主视图．
3．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．3B．6C．8D．10
【分析】设黑球的个数为x个，根据频率可列出方程，解方程即可求得x，从而得到答案．
【解答】解：设袋中有黑球x个，由题意得：xx+4=0.6，
解得：x＝6，经检验，x＝6是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有6个．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式列出方程是解题的关键．
4．如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由两条直线被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例，即可求出EF的长．
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴EFDE=BCAB，即EF4=32，
∴EF＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5．反比例函数y=−mx与一次函数y＝mx+m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝mx+m的增减性可知m＞0，但从函数图象与y轴的交点来看m＜0，相矛盾，故A错误；
B、由函数y＝mx+m的增减性可知m＜0，但从函数图象与y轴的交点来看m＞0，相矛盾，故B错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，由函数y=−mx的图象可知m＞0，故C正确；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，由函数y=−mx的图象可知m＞0，相矛盾，故D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．如图，在矩形ABCD中，AE＝3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE．则BD的长是（ ）
A．33B．6C．43D．12
【分析】由矩形的性质可得OB＝OD＝OA＝OC，AC＝BD，由线段垂直平分线的性质可得OA＝AB＝OB，可证△OAB是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵ED＝3BE
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴2BE＝AB，
∵AE＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AB2−AE2=4BE2−9，
解得：BE=3，
∴ED=3BE=33，
∴BD=43，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．已知正比例函数y1＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y2=nx(n≠0)的图象的一个交点坐标为（1，3），则不等式y1＜y2的解集为（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜1D．﹣3＜x＜0或0＜x＜3
【分析】求出正比例函数y1＝3x，反比例函数y2=3x，画出函数图象，结合函数图象即可得解．
【解答】解：∵正比例函数y1＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y2=nx(n≠0)的图象的一个交点坐标为（1，3），
∴m＝3，n＝1×3＝3，
∴正比例函数y1＝3x，反比例函数y2=3x，
画出函数图象如图所示：
由图象可得：不等式y1＜y2的解集为x＜﹣1或0＜x＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．阳光下广告牌的影子属于 平行 投影（填“中心”或“平行”）．
【分析】根据平行投影中心投影的定义判断即可．
【解答】解：阳光下广告牌的影子属于平行投影．
故答案为：平行．
【点评】本题考查平行投影，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义，属于中考常考题型．
10．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OAOD=25，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为 20 ．
【分析】根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求出△DEF的周长．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=25，
∴C△ABCC△DEF=25，
∵△ABC的周长为8，
∴8C△DEF=25，
解得：C△DEF＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似图形与相似图形的关系\熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，若BO＝3，菱形ABCD的面积为12，则AH的长为 121313 ．
【分析】根据菱形面积的计算公式求得AC，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出BC，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高AH即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积为12，
∴12BD⋅AC=12，
即12×6⋅AC=12，
∴AC＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OA=OC=12AC=2，
∴BC=OB2+OC2=32+22=13，
又∵AH⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC•AH，
∴13AH=12．
∴AH=121313．
故答案为：121313．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．
12．如图，点A在反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于4，BC＝4OC，则k的值为 12 ．
【分析】作AE⊥BC于E是解题的关键．作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝4，进而根据题意求得S△AOE＝6，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，
∴AB＝AC，
∴CE=BE=12BC，
∵BC＝4OC，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=(CEOC)2=4，
∵△BCD的面积等于4，OB＝OC+BC＝5OC，
∴S△COD=14S△BCD=1，
∴S△CEA＝4S△COD＝4×1＝4
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=2，
∴S△AOE＝2+4＝6，
∵S△AOE=12|k|=6，
∵k＞0，
∴k＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 2 ．
【分析】连接AG，并延长AG交CD于点P，先通过证明△AEG≌△PDG得到DG＝EG，DP＝AE后，证明GH是△APF的中位线，可得GH=12PF，在Rt△FCP中利用勾股定理求出PF的长，从而求出GH的长．
【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠GDP，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AE=12AB＝2，CF=12BC＝2．
∵G为DE的中点，
∴EG＝DG，
在△EAG和△DPG中，
∠AEG=∠GDPEG=DG∠AGE=∠PGD，
∴△EAG≌△DPG（ASA）．
∴AG＝PG，DP＝AE＝2．
∴G为AP的中点，
∵H为AF的中点，
∴GH是△APF的中位线．
∴GH=12PF．
在Rt△FCP中，
CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，
∴PF=PC2+FC2=22．
∴GH=12PF=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是添加辅助线把MN归纳到三角形中，然后证明MN是三角形的中位线．
三．解答题（共13小题）
14．用适当的方法解下列方程
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）直接开方，进行求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法进行求解即可．
【解答】解：（1）原方程开方得：x﹣2＝±3，
∴x1＝﹣1，x2＝5；
（2）原方程整理得：x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算是解题的关键．
15．用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
（2）如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 3 个小立方块．
【分析】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3．据此可画出图形；
（2）根据主视图和左视图的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以再添加3个小立方块．
故答案为：3．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
16．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当y＝9时，求x的值．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx，将（﹣6，﹣3）代入即可；
（2）将y＝9代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx，
将（﹣6，﹣3）代入，得：−3=k−6，
解得k＝（﹣3）×（﹣6）＝18，
∴y与x的函数关系式为y=18x；
（2）由（1）得y=18x，
将y＝9代入，得：9=18x，
解得x＝2．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质：
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作BC的垂线交BC于点D，即可求解．
【解答】解：如图所示，点D即为所求．
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°．
∴∠ADC＝∠BAC，∠DAC＝90°﹣∠C＝∠B
∴△DAC∽△ABC．
【点评】本题考查了作垂线，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形．
【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝∠CDA＝90°，证出AE＝DE，由正方形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°，
∵AE，DE平分∠BAD 与∠CDA，
∴∠EAD=12∠BAD=45°，∠EDA=12∠CDA=45°，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，
∴▱AEDF是正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
19．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据作图直接写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求；
（3）依据图2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关键．
20．某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）．
（1）甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 14 ；
（2）用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及乙同学与丙同学都选到D项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种，
∴选到A项目的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中乙同学与丙同学都选到D项目的结果有1种，
∴乙同学与丙同学都选到D项目的概率为116．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？
【分析】设每件该品牌毛衣降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（10+2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论．
【解答】解：设每件该品牌毛衣降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（10+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（10+2x）＝700，
整理得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30，
当x＝5时，40﹣x＝40﹣5＝35＞20，符合题意；
当x＝30时，40﹣x＝40﹣30＝10＜20，不符合题意，舍去．
答：每件该品牌毛衣应降价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？
【分析】作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，如图，利用CG∥EH判断△ACG∽△AEH，然后利用相似比计算出EH，从而得到EF的长．
【解答】解：作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，如图，
易得BD＝1，BF＝9，
∵DG＝HF＝AB＝1.5，AG＝BD＝1，
∴CG＝CD﹣DG＝2﹣1.5＝0.5，
∵CG∥EH，
∴△ACG∽△AEH，
∴CGEH=AGAH，即0.5EH=19，解得EH＝4.5，
∴EF＝EH+FH＝4.5+1.5＝6（m），
即大树EF的高为6m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例解决问题．
23．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）（如图）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
【分析】（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当y＝20时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx，
∵点（24，50）在函数图象上，
∴50=k24，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为y=1200x(x＞0)．
（2）当y＝20时，20=1200x，
∴x＝60，
60÷15＝4，
答：需要4台这样的挖掘机．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接DE，若AB＝5，AC＝6，求DE的长．
【分析】（1）先说明四边形BECO是平行四边形，再根据菱形的性质得∠BOC＝90°，即可得出答案；
（2）根据菱形得性质得OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，再根据勾股定理得OB=AB2−OA2=4，进而得出BD，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形BECO是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴OA＝OC=12AC=12×6=3，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB=AB2−OA2=4，
∴BD＝2OB＝8．
∵四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝3．
∴DE=BD2+BE2=64+9=73．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法．
25．如图，点A在第一象限，且在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的横坐标为1，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接BC，点D（m，n）（m＞1）在反比例函数图象上，满足△ACD的面积等于△ABC的面积，求直线BD的解析式．
【分析】（1）设AB与x轴交于点E．B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4，则S△AOE＝2．得到AE•EO＝4．又AE•EO＝k．则k＝4．即可得到反比例函数的解析式；
（2）依次求出A（1，4）、B（1，﹣4）、C（﹣1，﹣4），过B点作BD∥AC，直线BD与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点D，则S△ADC＝S△ABC．求出直线AC解析式为y＝4x．由AC∥BD可设直线BD的解析式为y＝4x+b，将B（1，﹣4）代入上式，得到﹣4＝4+b，解得b＝﹣8．即可求出直线BD的解析式．
【解答】解：（1）如图，设AB与x轴交于点E．
∵B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4，
∴S△AOE＝2．
∴12AE⋅EO=2，即AE•EO＝4．
又AE•EO＝k．
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式y=4x．
（2）∵点A的横坐标为1，
当x＝1时，y＝4，
∴A（1，4）．
由点A与点B关于x轴对称得B（1，﹣4）．
由题可得，点A与点C关于原点O对称，
∴C（﹣1，﹣4），
过B点作BD∥AC，直线BD与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点D，
∴S△ADC＝S△ABC．
设直线AC的解析式为y＝ax（a≠0）．
将A（1，4）代入上式，得a＝4，
∴直线AC解析式为y＝4x．
∵AC∥BD，
∴可设直线BD的解析式为y＝4x+b，
将B（1，﹣4）代入上式，得到﹣4＝4+b，
解得b＝﹣8．
∴直线BD的解析式为y＝4x﹣8．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
26．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF＝CF＝x cm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF＝5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．
【点评】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
C
C
A
B
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）