陕西省咸阳市秦都区实验中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省咸阳市秦都区实验中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了答卷前将装订线内的项目填写清楚等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 某几何体如图水平放置，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，看的见的棱用实线，看不见的棱用虚线．据此可得答案．
【详解】解：左视图为．
故选：C
2. 若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
3. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A. 600条B. 1000条C. 1200条D. 2200条
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：．
故选：C．
4. 如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）
A. 逐渐变短B. 逐渐变长
C. 先变短后变长D. 先变长后变短
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处时，他在地上的影子逐渐变短；
故选：A．
5. 某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：将《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲分别用甲，乙，丙，丁表示，
根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》两首歌曲的有2种，
则恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率，
故选：C．
6. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由平角的定义证明，由正方形的性质得到，则可证明得到，，进而可证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，，故A、D结论正确，不符合题意；
∴，
∴，故B结论正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故C结论错误，符合题意；
故选：C．
7. 在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】解：∵，
①若，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
8. 如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
点是的中点，是的中点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____．
【答案】20
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．
∴△AOB是直角三角形．
∴．
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20．
10. 如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，根据面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∴
∵，
∴，
故答案为：4．
11 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程____．
【答案】
【解析】
【分析】利用总利润=每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设每件应降价x元，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，点C是轴上的一点，若的面积为，则的值为________．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，设与y轴相交于点D，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义，即可求得答案．
【详解】连结，，设与y轴相交于点D，
轴，
，
，，
，
解得，
故答案为：3．

13. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．
【详解】∵△BCD∽△BAC，
∴=，
设AB=x，
∴22=x，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AC=AD=4-1=3，
∵△BCD∽△BAC，
∴=＝，
∴CD=32．
故答案为32
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法求解．
【详解】解：，
，
，
，即，
或，
解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
15. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，请估计盒子里白球的个数．
【答案】15个
【解析】
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到白球的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可．
【详解】解：设盒子里白球的个数为x个，
∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，
∴摸到白球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴估计盒子里白球的个数为15个．
16. 如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）；
（2）在（1）的条件下，求的面积．
【答案】（1）件解析 （2）1
【解析】
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质．
（1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得；
（2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
解：根据图象可得，
∵与的相似比为，
∴与的面积比为，
∴面积．
故答案为：1．
18. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度．

【答案】19.8米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据对应边成比例即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
又，
，
，即，
，
即信号发射塔的高度为19.8米．
19. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．
（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．
【答案】（1）；
（2）两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
【解析】
【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；
（）画出树状图，利用概率公式计算即可；
本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
20. 已知反比例函数．
（1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【小问1详解】
∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
解得：．
【小问2详解】
∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21. 如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证．
【详解】证明：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴．
在和中，，
∴
∴，
∴．
22. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
（1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
（2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】（1）0.5米
（2）25度
【解析】
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可；
（2）把代入，求得，再作差即可求解．
【小问1详解】
解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为，
由图可得，当时，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米．
【小问2详解】
解：当时，，
∴（度），
答：明明的眼镜度数下降了25度．
23. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）求出，即可证明；
（2）把代入得到关于m的一元二次方程，再求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：或．
24. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．
（1）求证：矩形；
（2）若点E为的中点，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形；
（2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：
25. 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．
（1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽．
（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？
【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是．
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：（1）设与住房墙垂直的一边长为，
则与住房墙平行的一边长为，
根据题意，列方程得：
，
解得：，，
当时，与住房墙平行的一边长，
不符合题意，舍掉，
当时，与住房墙平行的一边长，
答：所围猪舍长是，宽是；
(2) 设与住房墙垂直的一边长为，则与住房墙平行的一边长为
根据题意，列方程得：
，
解得：，，
当时，与住房墙平行的一边长，
不符合题意，舍掉，
当时，与住房墙平行的一边长，
答：所围猪舍的长是，宽是．
26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）如图1，当t为何值时，；
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；
（3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可；
（2）分和分别讨论即可；
（3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
当时，；
【小问2详解】
∵，，，
∴当时，
同（1）可得：；
当时，
，即，
解得：；
综上：当或时，以点P、B、Q为顶点三角形与相似；
【小问3详解】
存在，理由是：
如图，过P作，垂足为D，作边上的高，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，故不合题意，
∴，即存在，使得的面积等于4．