重难点06：函数的零点-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

这是一份重难点06：函数的零点-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用），文件包含重难点06函数的零点-2025年高考数学二轮复习讲与练北京专用原卷版docx、重难点06函数的零点-2025年高考数学二轮复习讲与练北京专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

1.判断函数存在零点
判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2.判断函数零点个数
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
3.已知函数有零点求参数的取值范围
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
4.解决函数零点应用问题的步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
5.隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；
第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
6.隐零点常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：
3.隐零点的估计
二、题型精刷精练
【题型训练-刷模拟】
1．已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，记，讨论函数的零点个数．
2．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求曲线与曲线的交点个数.
3．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)求函数的零点个数.
4．已知函数.
(1)当时；
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求零点的个数；
(2)当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明.
5．已知函数，其中．
(1)若在处取得极小值，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值；
(3)证明：有且只有一个极值点．
6．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
7．已知函数.
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
8．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
9．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
10．已知函数，.
(1)当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
11．已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：；
(3)若在恒成立，求的最小值．
12．设函数．
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：．
(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
13．设函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最大值并记为，求的最小值；
(3)当时，求零点的个数.
14．已知函数．
(1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
15．已知函数
（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；
（2）当0＜a＜1时，求零点的个数.
16．设函数，其中．
（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；
（Ⅱ）若，证明：当时，；
（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
17．已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）当时，证明：；
（3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.
18．已知函数.
(I)当a=-1时，
①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)的最小值；
(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.
19．已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）判断函数的零点个数.
20．已知函数．
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．
21．已知函数.
（1）当时，求函数f(x)的单调区间；
（2）设，若g(x)在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）
23．设函数，其中．
（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
24．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在上区间零点的个数.
25．已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在上有零点，求的取值范围.
26．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.
27．已知函数，，其中．
(I)当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)证明：在区间上恰有2个零点．
28．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：函数有且仅有一个零点；
（3）当时，写出函数的零点的个数．(只需写出结论)
29．已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.
30．已知函数，其中.
（1）求函数的零点个数；
（2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.
↑
极大值
↓