甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（原卷及解析版）

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说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.
【详解】由不等式，得，所以，
又，可得.
故选：A
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，的定义域为且单调递增，
又，
，
，
，
所以，所以零点所在区间为.
故选：.
3. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数的单调性得到，得到答案.
详解】，
故.
故选：C
4. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ）
A. 2或B. C. 2D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解.
【详解】为幂函数，
所以，即，
即，解得或，
又在上是增函数，
所以，
当时，，
当时，，
所以
故选：.
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，得，
解得或，
因为，且，
所以，所以，所以.
故选：.
6. 已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.
【详解】根据函数的图象可知，
再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB，
且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确；
故选：C
7. 若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数的定义域列式求解即得.
【详解】设，则函数由函数和复合而成，
而是减函数，则在上是增函数，
从而，所以，
由当时，恒成立，
所以当时，，解得，
综上，的取值范围为.
故选：.
8. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在(0,+∞)上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二､多选题：本大题共3个题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角为锐角，则角为钝角
B. 是第三象限角
C. 若角的终边过点，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于，由锐角和钝角的定义和范围即可判断；对于，由与终边相同即可判断；对于，由题意结合三角函数余弦值的定义即可计算求解；对于，由弧长公式和扇形面积公式即可计算求解.
【详解】对于，因为角为锐角，所以，
所以，所以角为锐角或直角或钝角，故错误；
对于，与的终边相同是第二象限角，故错误；
对于，因为角终边过点，
所以，故正确；
对于，因为圆心角为的扇形的弧长为，
所以扇形的半径为，
所以该扇形面积为，故正确.
故选：.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调增区间是
B. 函数与是同一函数
C. 函数，则函数的值域是
D. 已知函数的定义域为，则定义域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数性质以及复合函数的同增异减性质可判断A，根据定义域及解析式可判断B，根据值域的定义通过两方面可验证C，根据抽象函数定义域可判断D.
【详解】对于A， ， 是减函数， 在x∈1,+∞ 是减函数.
根据复合函数同增异减的性质，在x∈1,+∞ 时是增函数，故A正确；
对于B，函数与定义域相同，解析式相同，从而与是同一函数，故B正确；
对于C，一方面有，.
另一方面，对任意，都有.
所以fx的值域是，故C正确；
对于D，函数定义域为，则要使f2x+1有定义，需要，即，所以f2x+1的定义域为，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知函数，实数，满足，则（ ）
A. B. ，，使得
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
故选：CD．
第II卷（非选择题）
三､非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案写在答题卡上.）
12. 已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】应用诱导公式即可求解.
【详解】由，
∴.
故答案为：.
13. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解.
详解】令，得，所以，
所以，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，，
当时，，
函数在上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以函数的值域为，
当时，由，得，
当时，由，得，
画出图象，如图所示：

由在区间上既有最大值，又有最小值，
得，，则，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）化简：.
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可；
（2）根据对数的运算法则和性质化简求值；
（3）利用诱导公式化简求值即可.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；
（2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
解得；
【小问2详解】
因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
17. 已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可
【详解】（1）时， ，
令可得，即x=1．
的零点是．
（2）令，显然，则．
有两个零点，且为单调函数，
方程在上有两解，
，解得：．
的取值范围是．
【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题
18. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息：
（1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式；
（2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：）
【答案】（1）
（2）2.81小时
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
当时，设，将代入得，
解得，此时；
当时，设且，将､代入，得，
解得，此时.
综上可得.
【小问2详解】
当时，令，解得；
当时，令，即
而，故
药效时间，
所以药效时间约为小时.
19. 已知函数.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数解得，再用定义法进行证明；
（2）记，，判断出在1,+∞上单调递增，列不等式组求出实数的取值范围；
（3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化在上有两根，令，，，利用图象有两个交点，列不等式求出实数的取值范围.
【小问1详解】
定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，解得：，
此时，，
所以，
所以为偶函数，
所以；
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立，
记，，只需，
因为在1,+∞上单调递增，在1,+∞上单调递增，
所以在1,+∞上单调递增，
所以，
所以，解得：，
即实数的取值范围为；
【小问3详解】
当时，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增且，
则可化为，
又因为在上单调递增，所以，
换底得：，
即，
令，则，
问题转化为在上有两根，
即，，
令，，，
分别作出图像如图所示：
只需，解得：，
即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.