甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1.已知直线的倾斜角为，方向向量，则( )
A.B.C.D.
2.已知等比数列的前项和为，且，则( )
A.4B.3C.2D.1
3.过点且与直线垂直的直线方程是( )
A.B.C.D.
4.已知数列满足，则( )
A.B.C.D.
5.如图所示,直线与的图象可能是( )
A.B.
C.D.
6.点到直线的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A.B.
C.D.
7.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则( )
A.2B.3C.4D.5
8.已知两点,直线与线段AB有公共点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题：(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9.已知直线,则下列结论正确的是( )
A.直线的一个法向量为B.若直线,则
C.点到直线的距离是2D.过与直线平行的直线方程是
10.在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫作三角形数.设第个三角形数为，则下面结论正确的是( )
A.B.C.1024是三角形数D.
11.已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则( )
A.B.为等比数列C.为递减数列D.中存在小于的项
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.经过两直线与的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_________.
13.在数列中,,求的通项公式____________.
14.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点则的最大值____________.
四、解答题(本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知直线与直线.
(1)当为何值时，与平行，并求与的距离;
(2)当为何值时,与垂直.
16.(15分)数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2),求数列的前项和.
17.(15分)已知直线,点.求:
(1)直线关于点对称的直线的方程;
(2)直线关于直线的对称直线的方程.
18.(17分)已知直线.
(1)求证:直线过定点;
(2)若直线不经过第二象限,求实数的取值范围;
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求的方程.
19.(17分)定义:从数列中随机抽取项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“项递衍生列”;
(1)已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的
(2)已知数列是项数为的等比数列,其中,若数列为1,16,81,求证:数列不是数列的“3项递增衍生列”;
(3)已知首项为1的等差数列的项数为14,且，数列是数列的“项递增衍生列”，其中.若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求的最大值.
兰州一中2024-2025-1学期10月月考
高二数学答案
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D
二、多项选择题：(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9.CD 10.ABD 11.ACD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.或13.14.9
四、解答题(本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.【详解】(1)由直线与平行,则,解得,
所以此时直线,………………………………………………………5分
所以与的距离为……………………………………………………………………8分
(2)由直线与垂直，则，解得或-9.………………………13分
16.【详解】(1)数列满足,整理得,又,即,所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列.
故，得………………………………………………………………………6分
(2)由于,所以,
所以①,
②,
①-②得:,
所以……………………………………………………………………………………15分
17.【详解】(1)设为上任意一点,
则关于点的对称点为,
因为在直线上,所以,
即直线的方程为.…………………………………………………………………………7分
(2)在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，
设对称点为,则,解得,即,
设与的交点为,则由,解得,即,
又经过点,故,
所以直线的方程为,即.………………………………………15分
18.【详解】1)由,即,
则,解得,所以直线过定点;
(2)
如图所示，结合图像可知，
当时,直线斜率不存在,方程为,不经过第二象限,成立;
当时,直线斜率存在,方程为,
又直线不经过第二象限,则,解得;
综上所述…………………………………………………………………………………9分
(3)已知直线,且由题意知,
令,得,得,
令,得,得,
则,
所以当时,s取最小值,
此时直线的方程为,即.……………………………17分
19.【详解】(1)由题意得，数列为1,8,3,4,5,2,
若是数列的“3项递增衍生列”，且
则为1,3,4或1,3,5或1,4,5或3,4,5.…………………………………………………………………3分
(2)设等比数列的公比为q.
假设数列是数列的“3项递增衍生列”，
则存在，使，
所以,则,
所以.
因为,所以为有理数,但为无理数,
所以(*)式不可能成立.
综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”.……………………………………………………………9分
(3)设等差数列的公差为.
由,又，所以，
故数列为.
令,因为数列中各项均为正整数,故;
(若，则，成等差数列)
同理,且,所以,
同理,且,所以,
这与已知条件矛盾，所以,
此时可以构造数列为1,2,4,5,10,11,13,14，其中任意三项均不构成等差数列.
综上所述，的最大值为8. ……………………………………………………………………17分