北京市通州区2025届高三上学期11月期中质量检测试卷数学

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2024年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知角终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，已知，，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 设集合，则（ ）
A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，
C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，
10. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是___________．
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.
13. 已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.
14. 设函数
①若，则函数的零点个数有________个.
②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.
15. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：
①，；
②数列为单调递减数列；
③，使得；
④，均有.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数，.
（1）求最小正周期及的值；
（2）直线与函数，图象分别交于两点，求的最大值.
17. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求及；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18. 已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
19. 设函数，若函数在处取得极小值8.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
（3）证明：曲线是中心对称图形.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当，曲线的切线不经过点；
（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
21. 已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为.
（1）写出数列的前6项；
（2）试判断与是否为数列中项，并说明理由；
（3）证明：数列与数列的公共项有无数多个.