第21讲 相似三角形及其应用（练习）-2025年中考数学一轮复习练习测试

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\l "_Tc156557563" 题型01 添加条件使两个三角形相似
\l "_Tc156557564" 题型02 证明两个三角形相似
\l "_Tc156557565" 题型03 确定相似三角形的对数
\l "_Tc156557566" 题型04 在网格中判断相似三角形
\l "_Tc156557567" 题型05 利用相似的性质求解
\l "_Tc156557568" 题型06 利用相似的性质求点的坐标
\l "_Tc156557569" 题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
\l "_Tc156557570" 题型08 证明三角形的对应线段成比例
\l "_Tc156557571" 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
\l "_Tc156557572" 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
\l "_Tc156557573" 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557574" 题型12 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557575" 题型13 平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557576" 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc156557577" 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc156557578" 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc156557579" 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc156557580" 题型18 A字模型
\l "_Tc156557581" 题型19 8字模型
\l "_Tc156557582" 题型20 一线三垂直模型
\l "_Tc156557583" 题型21 三角形内接矩形模型
\l "_Tc156557584" 题型22 旋转相似模型
\l "_Tc156557585" 题型23 相似三角形的应用
题型01 添加条件使两个三角形相似
1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠CAB=∠DB．ACBC=DEAEC．AD∥BCD．BCAC=ADAE
2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC∼△ACB．
3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
题型02 证明两个三角形相似
4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．

5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．

(1)求证：△DCE∽△BCA；
(2)若AB=6，AC=8，求BDCD的值．
6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
题型03 确定相似三角形的对数
7．（2023·山西晋中·统考一模）在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条B．4条C．3条D．2条
8．（2023·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
9．（2020·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4B．5C．6D．7
题型04 在网格中判断相似三角形
10．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ）

A． B． C． D．
11．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形网格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；这3个斜三角形中，能与△ABC相似的是 ．（点A、B、C、D、E均在格点上）

12．（2017·天津和平·统考二模）如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是 ．
题型05 利用相似的性质求解
13．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，△ABC∽△DEF，若AB=2，DE=3，则BC:EF的值等于（ ）
A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．4∶9
14．（2023·江西南昌·统考一模）如图，△DEF的顶点D,E在△ABC的边BC上，EF∥AC,DF∥AB，若∠F=55°，则∠A=（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
15．（2023·四川成都·统考一模）若△ABC∽△DEF，且ABDE=13，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．29B．23C．6D．18
16．（2023·甘肃张掖·校联考一模）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△DEF的面积为 ．
题型06 利用相似的性质求点的坐标
17．（2022·广东汕头·林百欣中学校考一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8）B．（8，－10）C．（－10，8）D．（－8，10）
18．（2023·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系内，一束光线从点P4,4射向x轴上的点M，经x轴反射后反射光线经过点Q0,2，则点M的坐标为 ．
19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8，6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 ．
21．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,0，B0,2，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C的坐标是 ．
题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
22．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
23．（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
24．（2020·新疆·三模）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．
题型08 证明三角形的对应线段成比例
25．（2023·广东惠州·统考二模）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．

(1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明；
(2)连接ED交AC于点O，求证：DC2=OC⋅AC；
(3)在（2）的条件下，若DG=6，AG=145，求CG的值．
26．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______．
(2)问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD×AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF：
① 试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
② 若DE=CE，求OF的长．
27．（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，BD是对角线，点E、F分别是AB、AD上两个动点（不与端点重合），且AF=BE，BF与DE交于点G．
(1)求证：△AED≌△DFB；
(2)如图②，连接CG，若CG⊥BD于点H，求证：EF2=GH⋅HC；
(3)若AF=nFD，试探究BF与GF的数量关系，并证明．
题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
28．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,AB=9，E是AB上的一点，BE=5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．

(1)求证：△AEC'∽△AC'B；
(2)若点F是BC上一点，且BF=5，求FC'+23BC'的最小值．
29．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）综合与实践
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC ．

猜想证明：（1）如图1，点D在BC边上∠DAC=45° ．将△ABC沿AD所在直线折叠，点C的对应点为E ．试猜想四边形ACDE的形状并加以证明 ．
实践探究：（2）如图2，拓展小组受此问题启发，将△ABC沿过点C的直线CF折叠 ．点B的对应点为G ．且CG⊥AB于点H ．若AC=25，BC=45，求BF的长 ．
问题解决：（3）如图3 ．探究小组突发奇想，将△ABC沿过点A的直线AM折叠，若∠BAM=45°，AC=4，CM=3，直接写出BM的长 ．
30．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在AC上，且CD=2，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为 ．
31．（2023·江西吉安·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点，F为线段AC上的动点，将AD沿过点D的射线DF折叠得到DE，若AB下方的DE与△ABC的边垂直，则AF的长度可能是 ．

题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
32．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E是线段BC上一个动点，AE⊥EF于点E，射线EF交射线CD于点F，BC=2AB=8，设BE=x，CF=y，当点E从点B运动到点C时，y与x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
33．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE、DF，设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
34．（2021·甘肃·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
35．（2023·广东深圳·统考二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°．由尺规作图得射线BM交AC于点F．则AF的长是 ．
36．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0)，B是y轴上一点．

(1)B上求作点M，使得△AMO∽△AOB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，AB=4AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当MO=MF时，求点D的坐标．
37．（2023·福建宁德·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC．

(1)尺规作图：在AC和AB上分别确定点D，E的位置，使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AB=6,BC=4，求BE的长．
题型12 三角板与相似三角形综合应用
38．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠DEF=90∘，∠C=∠F=45∘，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O逆时针旋转，旋转角为α．其中0∘