中考数学一轮复习课时练习第21课时 锐角三角函数及其实际应用 (含答案)

第四单元  三角形

第21课时　锐角三角函数及其实际应用

15分钟

1. (天津)2sin60°的值等于(　　)

A. 1　　　B. 　　　C. 　　　D. 2

2. (河北)如图，从点C观测点D的仰角是(　　)

A. ∠DAB  B. ∠DCE

C. ∠DCA  D. ∠ADC

第2题图

3. (北师九下P4第1题改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则tanA的值为(　　)

A.   B.   C.   D. 　

4. (宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

第4题图

5. (温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为(　　)

A. 米  B. 米

C. 米  D. 米

第5题图

6. (赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________ m．(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)

    第6题图

45分钟

1. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的点C处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)

第1题图

2. (菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里．再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．

第2题图

3. (全国视野创新题推荐·2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图①是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

第3题图

方案设计：

如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC＝77.44°)；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC＝30.56°)；窗户的高度AB＝2 m.

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．

(结果精确到0.1 m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49)

4. (河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)

第4题图

5. 如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高(结果保留根号)．

第5题图

6. 为了测量休闲凉亭AB的高度，某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B、E、D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A，在F处测得凉亭顶端A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，FD＝2米，求休闲凉亭AB的高度．(结果保留根号)

第6题图

7. (邵阳)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)

第7题图

8. (甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40 cm，灯罩CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°；CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)

第8题图

9. (西安交大附中模拟)如图，在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°，然后他沿着坡比i＝5∶12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶，在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°，求纪念碑CD的高度．(结果精确到1米，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5)

第9题图

参考答案

第21课时　锐角三角函数及其实际应用

点对点·课时内考点巩固

1. C　【解析】2sin60°＝2×＝.

2. B　【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.

3. D　【解析】根据勾股定理可得：BC＝＝12, ∴tanA＝＝.

4. A　【解析】如解图，取格点D，连接DC，在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，tan∠BAC＝＝.

第4题解图

5. B　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，由轴对称性质可知，BC＝3＋0.3×2＝3.6 m，∴BD＝1.8 m，∵cosα＝，∴AB＝＝＝.

第5题解图

6. 8.1　【解析】如解图，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝38°，BC＝3.1 m，则sin∠BAC＝，∴AB＝≈＝5(m)，故木杆折断之前的高度约为 8.1 m.

第6题解图

点对线·板块内考点衔接

1. 解：如解图，过D作DE⊥AB于点E，

∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.

∴∠ADE＝53°.

∵BC＝DE＝6 m，

∴AE＝DE·tan53°≈6×1.33＝7.98 m.

∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD≈7.98＋1.5≈9.5 m.

答：旗杆AB的高度约为9.5 m.

第1题解图

2. 解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，设BC为x海里，

∵在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，

∴DC＝BD＝.

∵A处测得小岛B位于它的北偏东30°方向，

∴∠BAD＝60°.

∵sin∠BAD＝，

∴sin60°＝，解得x＝40.

答：此时航母与小岛的距离BC的长为40海里．

第2题解图

3. 解：设CD＝x m，

在Rt△CDB中，∠BDC＝30.56°，

∴BC＝CD·tan∠BDC＝xtan30.56°.

在Rt△ACD中，∠ADC＝77.44°，

∴AC＝CD·tan∠ADC＝xtan77.44°.

∵AC＝BC＋AB，AB＝2，

∴xtan77.44°＝xtan30.56°＋2.

解得x≈0.5.

∴CD≈0.5.

答：遮阳篷CD的长约为0.5 m.

4. 解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55，

∴AC＝≈≈82.1 m.

∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1 m.

在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，

∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7 m.

∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51 m.

答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.

5. 解：∵∠DFG＝∠DEF＋∠EDF，∠DFG＝60°，∠DEF＝30°，

∴∠DEF＝∠FDE＝30°，

∴EF＝FD＝20米，

在Rt△DFG中，DG＝DF·sin60°＝20×＝10(米)，

∵四边形AEGC是矩形，

∴CG＝AE＝1.5米，

∴CD＝DG＋CG＝(1.5＋10)米．

答：教学楼CD的高为(1.5＋10)米．

6. 解：由题意可得：DF＝BH＝2米，FH＝DB,

∵∠HFE＝∠FED＝∠AEB＝45°，∠FDE＝∠AHF＝∠ABD＝90°，∠AFH＝30°，

∴∠DFE＝∠FED＝45°，∠AEB＝∠EAB＝45°.

∴DE＝DF＝2米，EB＝AB.

设休闲凉亭AB的高度为x米，则EB＝AB＝x米，

∴FH＝DB＝(x＋2)米，AH＝(x－2)米．

在Rt△AFH中，tan∠AFH＝，

∴＝，

∴x＝4＋2，

经检验，x＝4＋2是原分式方程的解，且符合实际．

答：休闲凉亭AB的高度为(4＋2)米．

7. 解：设OB＝OE＝x cm，则OD＝(190＋x)cm，

在Rt△ODC中，∠ODC＝30°，

∴OC＝OD＝(95＋x)cm，

∴BC＝OC－OB＝ (95－x)cm，

在Rt△ABC中，BC＝AC·tan∠BAC＝40×tan65°，

∴95－x＝40×tan65°，

解得x≈19.

答：OB的长度约为19 cm.

8. 解：如解图，分别过点C、D作CE⊥AB于E、DF⊥AB交AB延长线于点F，作CM⊥DF于点M，

则MF＝CE，CM＝EF.

在Rt△AEC中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝60°，CA＝40，

∴CE＝CA·sin60°＝40×＝20.

∴DM＝DF－MF＝DF－CE＝49.6－20.

在Rt△CDM中，

∵∠CMD＝90°，CD＝30，

∴sin∠DCM＝＝≈.

∴∠DCM≈30°.

∴此时台灯光线最佳．

第8题解图

9. 解：如解图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，延长DC交AE于点G.

∵i＝tan∠BAF＝5∶12，

∴设BF＝5k，则AF＝12k.

在Rt△BAF中，由勾股定理得，AB＝13k，

∴13k＝39，解得k＝3，

∴BF＝15，AF＝36.

∵BC⊥DC，BC∥AE，

∴DG⊥AE，

∴四边形BCGF是矩形，

∴CG＝BF＝15，BC＝FG.

∵∠DAG＝45°，

∴AG＝DG.

设DC＝x，则AG＝36＋GF，DG＝x＋15，即x＋15＝36＋FG，

∴BC＝FG＝x－21.

在Rt△DBC中，tan∠DBC＝tan68°＝，即≈2.5，

解得x≈35，

经检验，x＝35为原分式方程的解，且符合实际．

答：纪念碑CD的高度约为35米．

第9题解图