山东省泰安市高新区2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省泰安市高新区2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题分Ⅰ、Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分．全卷满分150分．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，在中，边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相对的顶点的垂线段是三角形的高．
【详解】解：由图可知，在中，边上的高是，
故选：A．
3. 已知三角形三边长分别为5、a、9，则数a可能是( )
A. 4B. 6C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出a的取值范围，再根据取值范围选择．
【详解】∵5+9＝14，9﹣5＝4，
∴4＜x＜14．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．
4. 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A. 1，1，2B. 1.5，2，2.5C. 7，24，25D. 6，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【详解】解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查勾股数，注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
5. 下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是.
【详解】证明：，
，
∵，
∴，
又，
，
故选：D
6. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：，
当添加时，无法判断，故A选项符合题意；
当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意；
当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意；
当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意；
故选：A．
7. 如图，在中，，以点为圆心，以长为半径作圆弧，交的延长线于点，连结，若，则的大小为（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质， 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在中可求得，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在中可求得．掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
【详解】∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
8. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：

在中，
，,
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是．
故选：C．
9. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（ ）
A. 3B. 4C. 3.5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质和对折的特点，可得到△CDE是直角三角形，且∠GEA=60°，从而得出AE的长，进而得出AD的长和BC的长．
【详解】∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠AEF=∠CFE=60°，
∵EF为折痕，
∴∠AEF=∠FED=60°，GE=ED=1
∴∠AEG=60°
∴Rt△AGE中，AE=2
∴AD=1+2=3
∴BC=AD=3
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题关键是确定Rt△AEG中GE的大小和∠AEG的大小．
10. 如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（ ）
A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，设，则可得，利用勾股定理建立方程求得x的值，即可得结果．
【详解】解：，
；
设，则，
，
在中，由勾股定理有：，
即，
解得；
即．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，102分）
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11. 等腰三角形有一个角是，则它一个底角的度数为____________．
【答案】43
【解析】
【分析】根据一个三角形只能有一个钝角，得出的角一定是顶角，根据等腰三角形的性质求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴的角一定是顶角，
∴它一个底角的度数为：．
故答案为：43．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等．
12. 如图，∆ABC 中，∠A= 82 ，∆ABC 的两条角平分线交于点 P，∠BPD 的度数是_____；

【答案】49°
【解析】
【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)=49°，再由三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】∵△ABC中，∠A=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，
∵△ABC的两条角平分线交于点P，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)==49°，
∴∠BPD=∠PBC+∠PCB=49°，
故答案为：49°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
13. 如图，已知，若，，则________度．
【答案】30
【解析】
【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
14. 三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵82+152=172，
∴三角形为直角三角形，
设斜边上的高为h，
∵三角形的面积=×8×15=×17×h，
∴h=．
故答案为：．
15. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点G作于点H，

由作图痕迹知平分，，，
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：2．
16. 如图，在中，，点D、E分别在边、上(均不与点A、B、C重合)，且，若，则 _______度．
【答案】30
【解析】
【分析】先求出，再证明，得到，进而可求出的度数．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为30．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．
三、解答题（共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）
17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．
（1）在图中作，使和关于y轴对称；
（2）在x轴上存在一点Q，使得的值最小，请直接标注点Q的位置．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称变换．
（1）分别找出关于y轴时称的点，画出图形即可；
（2）作点关于x轴对称的点的坐标，连接，交x轴于点Q，点Q即为所作．
【小问1详解】
解：如图，，即为所作；
【小问2详解】
解：如图，点Q即为所作．
．
18. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N．
（1）若的周长为，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
（1）根据垂直平分线的性质可得，，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形内角和即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得垂直平分，垂直平分，
∴，，
∵的周长为，
∴；
【小问2详解】
解：由等腰三角形的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于点D，点E是BC上点，AE=AB．
求证：（1）BD=ED；
（2）CD=AB+BD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过等腰三角形三线合一证明．
（2）由三角形外角等于不相邻两内角和及∠B=2∠C得到AE=CE=AB再通过等量代换证明CD=AB+BD．
【详解】解：证明：（1）∵AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴DE=BD；
（2）在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=∠B，
又∵∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠CAE，
∴∠C=∠CAE，
∴CE=AE=AB，
∴CD=CE+DE=AB+BD．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握并灵活运用等腰三角形的性质是解题关键．
20. 如图：已知，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答．
【小问1详解】
证明：
又，
，
在和中，
；
【小问2详解】
解：
，
又，
．
21. 如图，是的角平分线，点在是上，交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余．
（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解；
（2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可．
【小问1详解】
解：是的平分线，
．
，则．
在中，，
；
【小问2详解】
解：∵，是的平分线，
，
．
22. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．
（1）在中，根据勾股定理求出即可；
（2）在中，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
（米），
（米）；
【小问2详解】
解∶如下图，
由勾股定理得，（米），
（米），
他应该往回收线8米．
23. 如图，要测量的长，因为无法过河接近点A，可以在所在直线外任取一点D，在的延长线上任取一点E，连接和，并且延长到G，使，延长到F，使，连接，并延长到H，使H、D、A在一条直线上，则，试说明理由．
【答案】理由见解析
【解析】
【分析】根据边角边定理易得，即可得到，从而得到，得到，易得，即可得到答案；
【详解】解：和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，解题的关键是根据两次全等得到相应条件．
24. 【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
（1）如图（1），为等边三角形，，，则________
【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________
【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．
（1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得；
（2）根据正方形性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长；
（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3；
（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
已知：，且．
求证：
证明：
又，
∴
（◎）