宁夏中卫市沙坡头区2024—2025学年上学期期中考试九年级数学测试题（解析版）-A4

这是一份宁夏中卫市沙坡头区2024—2025学年上学期期中考试九年级数学测试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共24分）
1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ）
A. ＝0B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义依次判断即可.
【详解】解：A.不是整式方程，故本选项错误．
B.整理后为，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C.方程二次项系数可能为0，故本选项错误；
D.方程含有两个未知数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义.形如（为常数，），这样的方程叫做一元二次方程.掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
2. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ）

A. 测量一组对边是否平行且相等B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量其中的三个角是否都为直角D. 测量对角线是否相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意；
故选C．
3. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根，
∴a≠0，且∆=（-2）2-4a×1≥0，
解得：a≤1且a≠0，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当∆≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
4. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选∶D．
5. 数学课上，嘉嘉同学任意画了一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个新的四边形，对于这个新的四边形的形状，下列结论正确的是（ ）
A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线、平行四边形的判定，因为点、、、分别为AD、AB、、CD的中点，根据三角形中位线定理可证且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形EFGH是平行四边形．
【详解】解：如下图所示，四边形为任意四边形，
点、、、分别为AD、AB、、CD的中点，
连接BD，
点、分别为AD、AB的中点，
是的中位线，
且，
又点、分别为、CD的中点，
是的中位线，
且，
且，
四边形EFGH是平行四边形，
故选：B．
6. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为，
第二周票房约亿元，第三周票房约亿元．
依题意得：．
故选：D
7. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长为米，宽为米的矩形，再结合草坪的面积为平方米，得出关于的一元二次方程，即可作答．
【详解】解：依题意，设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长为米，宽为米的矩形，
∴，
故选：B．
8. 将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】由面积关系得2ab=dc，再写成比例式即可.
【详解】将两个小矩形拼成一个大矩形，由面积关系可知：2ab=dc,即，或或，故选项A,C,D正确.
故选B
【点睛】本题考核知识点：比例式. 解题关键点：由面积关系列出比例式.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 一元二次方程的一个解为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故答案为：．
10. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．
【答案】0.53
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53
11. 如图，在中，，，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．因为 ，所以，再把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
则，
解得，
故答案为：1．
12. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形面积计算等知识，掌握这两个知识点是解题的关键；设菱形两条对角线分别为，则是一元二次方程的两根，由根与系数关系及菱形面积计算公式即可求解．
【详解】解：设菱形两条对角线分别为，则是一元二次方程的两根，
由根与系数关系得：，
∴菱形面积为：，
故答案为：．
13. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
15. 如图，矩形的对角线，，则的长为____cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；根据矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，根据勾股定理进而可得出答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长．
【详解】解：设小矩形长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为，
由题意得：，
化简得，
；
即小矩形对角线的长为.
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共72分）
17. 解一元二次方程：
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据配方法公式法解一元二次方程即可
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，．
18. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：
解：原方程可以化为：第一步
两边同时除以得：第二步
系数化为1，得：第三步
任务：
（1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；
（2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
【答案】（1）二 （2）或，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．
（1）第二步不符合等式的性质；
（2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．
【小问1详解】
解：他从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
【小问2详解】
解：
或，
解得：或．
19. 已知：线段，且．
（1）求的值；
（2）如果线段，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）15
【解析】
【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
设，
则，，，
，
，
，
，，．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
20. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______；
（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，，
故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．
21. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】赞成小洁说法，补充证明见解析
【解析】
【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．
【详解】解：赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．
22. 如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；
（2）请在图2中完成：在边上找点G，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接交于O，连接并延长交于F，直线即为所求；
（2）连接交于H，连接交于G，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所作；
【小问2详解】
解：如图，点即为所作，
23. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
【答案】所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为．
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，则平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，另外一边宽为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
整理得：
解得：，，
当时，（舍去），
当时，．
答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为．
24. 如图：在正方形中，点E在上，延长到F使，连接、、．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是证明出．
（1）首先根据正方形性质得到，，然后根据证明，进而得到；
（2）首先根据勾股定理求出，根据，得出，进而得出，然后由（1）知，根据勾股定理得到，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形
∴，
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴（负值舍去）．
25. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从点A、B同时出发，运动时间为t（s）；
（1）经过几秒的面积等于？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
（3）经过几秒，的长度等于？
【答案】（1）经过2秒或4秒的面积等于；
（2）的面积不能为面积的一半，理由见解析；
（3）经过秒，的长度等于．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理。利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）由题意可知，，，，，根据三角形面积公式列方程求解即可；
（2）先求出的面积，再根据的面积为面积的一半列方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）由勾股定理，得到，再根据的长度等于列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设运动时间为t（s）
由题意可知，，，，
，
的面积等于，
，
，
解得：，，
即经过2秒或4秒的面积等于；
【小问2详解】
解：的面积不能为面积的一半，理由如下：
在中，，，，
，
若的面积为面积的一半，则，
，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
的面积不能为面积的一半；
【小问3详解】
解：在中，，，
，
的长度等于，
，
方程两边平方后，整理得：，
解得：，（舍），
即经过秒，的长度等于．
26. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．
（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升．两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．
【答案】（1）售价应定为40元
（2）这两周的平均增长率为
【解析】
【分析】（1）设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程可求解；
（2）设这两周的平均增长率为，由在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，列出方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：设售价应定为元，
由题意可得：，
，
解得：，，
更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为40元；
【小问2详解】
解：设这两周的平均增长率为，
由题意：，
解得：，（不合题意舍去），
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．