江西省萍乡市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份江西省萍乡市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0B. x2+3x=x2﹣1C. （x﹣1）（x﹣2）=2D. 3x2﹣2y=0
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．x2+=0，是分式方程，故A错误；
B．x2+3x=x2﹣1，整理得：3x=-1，是一元一次方程，故B错误；
C．（x﹣1）（x﹣2）=2，是一元二次方程，故C正确；
D．3x2﹣2y=0，是二元二次方程，故D错误．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
2. 要从小强、小红和小华三人跟随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是【 】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为从小强、小红和小华三人跟随机选两人作为旗手，共有小强和小红、小强和小华．小红和小华三种情况，小强和小红同时入选只有一种情况，所以小强和小红同时入选的概率是．故选B
3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可知 再利用折叠的性质得，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处．
∴，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
在中，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
4. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．
【详解】解：由题意得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键．
5. 如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键．
【详解】A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意；
D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
故选C．
6. 如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可 判断②不一定成立．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；

又∵,,
∴,
∴，
∵，即：，
∴，
∴，故③正确，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
∵若，则，
又∵，
∴，
而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定，
而，
则故不一定成立，故②错误；
综上，正确的有①③④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_____m2．
【答案】1.8
【解析】
【分析】因为骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可．
【详解】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%，
∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2，
故答案为1.8．
【点睛】本题考查频率，解题的关键是知道频率的意义.
8. 已知，是线段AB的黄金分割点，，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，根据黄金分割的定义即可求出．
【详解】解：∵是线段AB的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
9. 已知，则___________
【答案】
【解析】
【分析】设，代入代数式即可求解．
【详解】解：设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
10. 设，是的两个实数根，则的值是________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点,若是一元二次方程的两根时，则，．
由根与系数的关系可得，由方程的解的定义可得，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：5．
11. 如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号)
【答案】
【解析】
【详解】如图，连接CD、EF分别交AB于点M、N，
∵四边形ACOD是菱形，∠CAD=60°，
∴∠AMC=90°，∠CAM=30°，
∴CM=AC=8，
∴AM=，
∴AO=16，AB=48，
同理可得：BN=，
∴CE=MN=.
12. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为_____．
【答案】6或2或3﹣．
【解析】
【分析】连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据PE=EH求解即可.
【详解】解：如图所示：连接EP交AC于点H．
∵菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°．
在△ECH和△PCH中 ，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH．
∴OC=EC=.
∴EH=3,
∴EP＝2EH＝6．
如图2所示：当P在AD边上时，△ECP为等腰直角三角形，则 ．
当P′在AB边上时，过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C＝2，BC＝4，∠B＝60°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′＝30°．
∴ ．
∴ ．
故答案为6或2或3﹣．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
三、解答题．（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据配方法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，；
小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，．
14. 已知：关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义、三角形三边的关系等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行解答即可；
（2）当时，求出对应的m，进而求出方程的两个解，进而求得三角形的周长．
【小问1详解】
证明：∵．
又∵无论取何值时，，
∴方程总有实数根．
【小问2详解】
解：由题意得，解得，
∴方程为，解得，即，
∴的周长为．
15. 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【答案】见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形性质和矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH//BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，
∴且GH//BC，
∴EF⊥BC，
∵AD//BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．
16. 已知：正方形ABCD，如图所示，M、N在直线BC上，MB=NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个不同的等腰三角形OMN．

【答案】见解析
【解析】
【详解】分析：连结AC和BD，它们相交于点O，连结OM、ON，则△OMN为等腰三角形，如图1；连结AN和DM，它们相交于点O，则△OMN为等腰三角形，如图2．
详解：如图1、图2，△OMN为所作．

点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是掌握正方形的性质和等腰三角形的判定．
17. 如图，在中，AB=8，=4,=6,,BD是的平分线，BD交于点,求的长.
【答案】4
【解析】
【详解】【分析】由已知条件先求得CD=BC=4，然后再证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例结合CE+AE=AC=6即可求得AE的长.
【详解】∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BC=4，
又∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴= ，
∵CE+AE=AC=6，
∴AE=4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤长）为一边，用总长为的栅栏在水库中围成了如图所示矩形区域，矩形区域的面积能达到吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】平行于岸堤的一段长，垂直于岸堤的一段长为，见解析
【解析】
【分析】设所围矩形平行于岸堤的一段长为，则垂直于岸堤的一段长为，根据矩形面积的计算方法列出方程求解即可．
【详解】解：设平行于岸堤的一段长为，
则垂直于岸堤的一段长为，
所以，
解得（舍）
故平行于岸堤的一段长，垂直于岸堤的一段长为时符合题目要求.
【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积建立方程是解决问题的关键．
19. 甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种．
A．猜“颜色相同”；
B．猜“一定有黑色”；
C．猜“没有黑色”．
请利用所学的概率知识回答下列问题：
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？
【答案】（1）列表见解析，共有9种等可能的结果：(黑，黑)，(黑，白)，(黑，红)，(白，黑)，(白，白)，(白，红)，(红，黑)，(红，白)，(红，红)
（2）选方案B，才能使自己获胜的可能性最大，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的知识点是概率的应用，列表法求概率；
（1）列举出所有情况，分别得到相应的概率，比较即可；
（2）应选择获胜概率最大的游戏进而得出答案．
【小问1详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果：(黑，黑)，(黑，白)，(黑，红)，(白，黑)，(白，白)，(白，红)，(红，黑)，(红，白)，(红，红)；
【小问2详解】
选方案．理由如下：
方案，方案，方案，
．
选方案，才能使自己获胜的可能性最大．
20. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S四边形BEDF＝6.
【解析】
【分析】（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD=CD=6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH=3，即可求DF=BF的长，即可得菱形BEDF的面积．
【详解】（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF平行四边形．
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF∠ABC，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE且四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．
（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H．
∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=30°=∠C，∴DB=DC=6．
∵DH⊥BC，∠C=30°，∴DC=2DH=6，∴DH=3．
∵DF∥AB，∴∠A=∠FDC=90°，且∠C=30°，DC=6，∴DCDF，∴DF=23．
∵四边形BEDF为菱形，∴BF=DF=23，∴S四边形BEDF=BF×DH=23=63．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出和的部分对应数据．
（1）求年销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）
（2）万元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设年销售量与销售单价的函数关系式为，根据表格，利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润一台的利润销量，即可求解．
【小问1详解】
解：设年销售量与销售单价的函数关系式为，将、代入，
得：，
解得：，
年销售量与销售单价的函数关系式为；
【小问2详解】
设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
此设备销售单价不得高于万元，
，
答：该设备的销售单价应是万元/台．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为．

（1）用含t的代数式分别表示线段和的长；
（2）当t为何值时，与相似？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和；
（2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【小问1详解】
解：，，
，
点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位，
，；
【小问2详解】
①是直角时，，
，
即，
解得，舍去；
②是直角时，，
，
即，
解得，
综上所述，时，与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
例：求的最小值；
解：令，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：
（1）题一：如图1，在中，，，，矩形的点在斜边上，、两点分别在、上．设，
①求的长（用含的代数表示）；
②求矩形面积的最大值．
（2）题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为300平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】（1）① ②20
（2）60米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键．
（1）①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可；②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可．
（2）设的长为米，则米，需要用的篱笆长为，转化为给出的方法计算即可．
【小问1详解】
①∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴有最大值，最大值为20．
【小问2详解】
设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，
∴，
整理，得，
∴，
∵，
∴
∴，
黑
白
红
黑
(黑，黑)
(黑，白)
(黑，红)
白
(白，黑)
(白，白)
(白，红)
红
(红，黑)
(红，白)
(红，红)
销售单价万元
…
…
年销售量台
…
…