宁夏回族自治区中卫市沙坡头区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份宁夏回族自治区中卫市沙坡头区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在估算一元二次方程x2+12x﹣15＝0的解时，小明列表如下：
请判断其中一个解x的大致范围是（ ）
A．0＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC长为（ ）
A．B．3C．D．6
4．（3分）若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，5）B．（﹣1，16）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣15，1）
5．（3分）数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现AC＝BC＝AD＝BD，AB＝CD，根据他的作图方法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A．两组对边分别平行的菱形是正方形
B．四条边相等的菱形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（ ）
A．2B．3C．5D．6
7．（3分）若ab＞0，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）近半年来，中卫零食店数量急剧上升．元旦即将到来，某零食店购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低0.5元，每天的销量增加5盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（ ）
A．
B．（45+x）（100﹣10x）＝6000
C．（45﹣x）（100+10x）＝6000
D．（45+x）（100+10x）＝6000
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如果，那么＝ ．
10．（3分）中卫市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同．如果设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意，可列方程 ．
11．（3分）一个口袋中装10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球，则口袋中约有 个白球．
12．（3分）如图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长为240cm，则它的对角线的长度为 cm．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ．
14．（3分）如图，已知线段AB长为2，过点B作BC⊥AB，使.连接AC，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交线段AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径作弧，交线段AB于点E，则AE的长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则▱ABCD的面积为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的动点，F是AD的中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
三、解答题（共10小题，共72分）
17．（6分）解方程（2x﹣1）2﹣81＝0．
18．（6分）小明在学习了配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
（1）上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现错误（填序号），这一步的依据是 ．
（2）请用配方法正确解方程2x2﹣8x+3＝0．
19．（6分）在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1，如图所示．
（1）写出△ABC与△A1B1C1的位似中心的坐标： ；
（2）以点O为位似中心，在图中y轴的左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1；
（3）在（2）中，若△A2B2C2边上一点P2的坐标为（x，y），则点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为 ．
20．（6分）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．
21．（6分）如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
22．（6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，DE．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
23．（8分）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF．
（1）求证：四边形外框AECF是菱形；
（2）若外框AECF的周长为160cm，EF＝64cm，BE＝14cm，求AB的长．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣n的图象与反比例函数的图象交于A（5，2），B（m，﹣5）两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）综合与实践
2024-2025学年宁夏中卫市沙坡头区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看到的是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看到的是．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
2．（3分）在估算一元二次方程x2+12x﹣15＝0的解时，小明列表如下：
请判断其中一个解x的大致范围是（ ）
A．0＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4
【分析】根据表格中的数据即可得出结果，
【解答】解：根据表格中的数据，可以发现：x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59；x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84，故一元二次方程x2+12x﹣15＝0的一个解x的范围是1.1＜x＜1.2．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC长为（ ）
A．B．3C．D．6
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠AOD＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OC，
∵AB＝3，
∴AC＝6，
∴BC＝，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（3分）若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，5）B．（﹣1，16）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣15，1）
【分析】把（3，﹣5）代入求出k﹣1即可求解．
【解答】解：由题意得：k﹣1＝3×（﹣5）＝﹣15，
∵﹣15×1＝﹣15，
∴反比例函数一定还经过点（﹣15，1），
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．
5．（3分）数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现AC＝BC＝AD＝BD，AB＝CD，根据他的作图方法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A．两组对边分别平行的菱形是正方形
B．四条边相等的菱形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据正方形的判定方法对角线相等的菱形是正方形即可证明．
【解答】解：根据题意可知AC＝BC＝AD＝BD，可以判定四边形ADBC是菱形，
又∵AB＝CD，
∴四边形ADBC是正方形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，正方形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即，
∴A′B′＝6．
故选D．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
7．（3分）若ab＞0，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【解答】解：A、根据一次函数图象可判断a＞0，b＞0，ab＞0，由反比例函数的性质可知ab＞0，故符合题意，
B、根据反比例函数图象可判断ab＜0，故不符合题意，
C、根据一次函数图象可判断a＜0，b＞0，即ab＜0，故不符合题意，
D、根据反比例函数图象可判断ab＜0，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
8．（3分）近半年来，中卫零食店数量急剧上升．元旦即将到来，某零食店购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低0.5元，每天的销量增加5盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（ ）
A．
B．（45+x）（100﹣10x）＝6000
C．（45﹣x）（100+10x）＝6000
D．（45+x）（100+10x）＝6000
【分析】根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：
（45﹣x）（100+）＝6000，
整理得（45﹣x）（100+10x）＝6000，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如果，那么＝ ．
【分析】令＝k，则a＝bk，c＝dk，e＝fk，再代入原式即可求解．
【解答】解：令＝k，
则a＝bk，c＝dk，e＝fk，
∴＝＝k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例性质是解题的关键．
10．（3分）中卫市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同．如果设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意，可列方程 150（1+x）2＝216 ．
【分析】利用该品牌头盔11月份的销售量＝该品牌头盔9月份的销售量×（1+设该品牌头盔销售量的月增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：150（1+x）2＝216．
故答案为：150（1+x）2＝216．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（3分）一个口袋中装10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球，则口袋中约有 30 个白球．
【分析】要先根据红球的频率列方程，再解答即可．
【解答】解：设口袋中有x个白球，
由题意，得10：（10+x）＝50：200；
解得：x＝30．
把x＝30代入10+x得，10+30＝40≠0，故x＝30是原方程的解．
答：口袋中约有30个白球．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12．（3分）如图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长为240cm，则它的对角线的长度为 60 cm．
【分析】根据正方形的周长求出它的边长为60cm，根据勾股定理即可求出它的对角线的长度．
【解答】解：∵正方形台面的周长为240cm，
∴它的边长为60cm，
∴它的对角线的长度为60cm．
故答案为：60．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 48cm3 ．
【分析】由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积．
【解答】解：该几何体的形状是直四棱柱，
由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm．
所以棱柱的体积＝×3×4×8＝48（cm3）．
故答案为：48cm3．
【点评】此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其体积．
14．（3分）如图，已知线段AB长为2，过点B作BC⊥AB，使.连接AC，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交线段AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径作弧，交线段AB于点E，则AE的长为 ﹣1 ．
【分析】根据垂直定义可得∠ABC＝90°，再根据已知易得BC＝1，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝，再根据题意可得：AD＝AE，CD＝BC＝1，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝AB，AB＝2，
∴BC＝1，
∴AC＝＝＝，
由题意得：AD＝AE，CD＝BC＝1，
∴AE＝AD＝AC﹣CD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了勾股定理，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则▱ABCD的面积为 10 ．
【分析】作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，易证四边形AEFB是矩形，进而得到S▱ABCD＝S矩形AEFB，根据反比例函数中k的几何意义，可求矩形AEFB的面积，即可求解．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，
∴AE＝BF，AE∥BF，∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴S▱ABCD＝S矩形AEFB，
∵点A、B分别在反比例函数和的图象上，
∴S矩形AEOG＝|﹣4|＝4，S矩形BFOG＝6，
∴S▱ABCD＝S矩形AEFB＝S矩形AEOG+S矩形BFOG＝4+6＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的动点，F是AD的中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
【分析】先求出AF，AC，DC的长度，当EF⊥AC，即∠AEF＝90°时，EF的值最小，根据△EAF∽△DAC，求出EF最小值．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∵F是AD的中点，
∴，
当EF⊥AC，即∠AEF＝90°时，EF的值最小，
∵∠AEF＝∠ADC，∠EAF＝∠DAC，
∴△EAF∽△DAC，
∴，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共10小题，共72分）
17．（6分）解方程（2x﹣1）2﹣81＝0．
【分析】方程变形后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：（2x﹣1）2＝81，
开方得：2x﹣1＝±9，
解得x1＝5，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（6分）小明在学习了配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
（1）上述解方程的过程中，小明从第 ② 步开始出现错误（填序号），这一步的依据是 等式的性质 ．
（2）请用配方法正确解方程2x2﹣8x+3＝0．
【分析】（1）根据配方法的步骤判断即可；
（2）利用配方法求解．
【解答】解：（1）②错了，右边3没有除以2，这个步骤的依据是：等式的性质；
故答案为：②，等式的性质；
（2）2x2﹣8x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣，
x2﹣4x+4＝﹣+4，
（x﹣2）2＝，
x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．
19．（6分）在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1，如图所示．
（1）写出△ABC与△A1B1C1的位似中心的坐标： （0，2） ；
（2）以点O为位似中心，在图中y轴的左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1；
（3）在（2）中，若△A2B2C2边上一点P2的坐标为（x，y），则点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为 （2x，2y） ．
【分析】（1）对应点的连线的交点即为位似中心Q；
（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用位似变换的性质判断即可．
【解答】解：（1）△ABC与△A1B1C1的位似中心Q的坐标（0，2）．
故答案为：（0，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）由位似变换的性质可知P1（2x，2y）．
故答案为：（2x，2y）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
20．（6分）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可得；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出小夏和小王收看同一个直播节目的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，小夏收看了乒乓球直播的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝1.4m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【解答】解：过D作DE∥BC交AB于点E，如图所示：
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为1.2m，墙上的影高CD为1.4m，
∴＝，
解得：x＝1.68（m），
∴树的影长为：1.68+4.8＝6.48（m），
∴＝，
解得：h＝5.4．
答：树高为5.4m．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用；解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
22．（6分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接CE，DE．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD；
（2）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：∵∠ACB＝90°，E为AB中点，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3，
∵AD＝4，
∴＝．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（8分）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF．
（1）求证：四边形外框AECF是菱形；
（2）若外框AECF的周长为160cm，EF＝64cm，BE＝14cm，求AB的长．
【分析】（1）证明△ABE≌△CBE（SAS），得AE＝CE，同理AE＝AF，CE＝CF，则AE＝CE＝CF＝AF，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接AC，交EF于点O，由菱形的性质得AE＝40cm，OE＝OF＝32cm，AC⊥EF，再由勾股定理得OA＝24cm，然后由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
同理：AE＝AF，CE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：如图，连接AC，交EF于点O，
∵四边形AECF是菱形，周长为160cm，EF＝64cm，
∴AE＝40cm，OE＝OF＝32cm，AC⊥EF，
∴OB＝OE﹣BE＝32﹣14＝18（cm），∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝24（cm），
∴AB＝＝＝30（cm），
即AB的长为30cm．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣n的图象与反比例函数的图象交于A（5，2），B（m，﹣5）两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）先求出B点坐标，再结合图象写出一次函数y＝x﹣n落在反比例函数的图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可；
（3）先求出S△AOC＝＝，则S△POC＝＝＝6，得出点P的纵坐标，即可解答．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣n的图象与反比例函数的图象交于A（5，2），
∴2＝，2＝5﹣n，
∴k＝10，n＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x﹣3；
（2）∵B（m，﹣5）在一次函数y＝x﹣3的图象上，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣5），
根据图象可知，不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜5；
（3）把y＝0代入y＝x﹣3，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴OC＝3，
∴S△AOC＝＝，
∴S△POC＝2S△AOC＝6，
∵S△POC＝＝＝6，
∴|yP|＝4，则yP＝4或yP＝﹣4，
当yP＝4时，P（，4），
当yP＝﹣4时，P（﹣，﹣4），
综上：P（，4）或P（﹣，﹣4）．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，主要考查学生的计算能力．利用了数形结合思想．
25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ 2tcm ，PB＝ （5﹣t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可．
（2）利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（3）利用分割法构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（5﹣t）cm，
故答案为2t，（5﹣t）．
（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（）2，
解得t1＝﹣1（不合题意，舍去），t2＝3．
当t＝3秒时，PQ的长度等于cm．
（3）存在．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，
则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），（5﹣t）•2t•＝4，
解得t1＝4（不合题意，舍去），t2＝1．
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2．
【点评】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）综合与实践
【分析】任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答；
任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可；
任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可．
【解答】解：任务1：，理由如下：
∵P1D1∥P2D2，
∴△P1D1O∽△P2D2O，
∴，
即；
任务，且b1＝1.6cm，b2＝1cm，l1＝40cm，
∴，
∴l2＝25，
∴②号“E”的测量距离l2为25cm；
任务3：如图，延长CM至A′，使A'M＝AM，延长CN至B'，使B′N＝BN，连接A'B'，作CF⊥A'B'于F，交MN于E，
则A'B'＝AB＝0.8m，A'B'∥MN，
∴CE⊥MN，△CMN∽△CA'B'，
∴，
由题意得CE＝2m，EF＝3m，
∴CF＝5m，
∴，
∴MN＝0.32m，
∴镜长至少为0.32m．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x﹣15
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
解：2x2﹣8x＝﹣3……①
x2﹣4x＝﹣3……②
x2﹣4x+4＝﹣3+4……③
（x﹣2）2＝1……④
x﹣2＝±1……⑤
x1＝3，x2＝1．……⑥
电视台
A
B
C
D
直播节目




乒乓球
篮球
射击
网球
视力表中蕴含的数学知识
素材1
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．

任务1
探究图中与之间的关系，请说明理由；
任务2
若b1＝1.6cm，b2＝1cm，①号“E”的测量距离l1＝40cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2．
素材2
为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN．

任务3
美美的方法中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
D
A
C
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x﹣15
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
解：2x2﹣8x＝﹣3……①
x2﹣4x＝﹣3……②
x2﹣4x+4＝﹣3+4……③
（x﹣2）2＝1……④
x﹣2＝±1……⑤
x1＝3，x2＝1．……⑥
电视台
A
B
C
D
直播节目




乒乓球
篮球
射击
网球
小夏
小王
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
视力表中蕴含的数学知识
素材1
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．

任务1
探究图中与之间的关系，请说明理由；
任务2
若b1＝1.6cm，b2＝1cm，①号“E”的测量距离l1＝40cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2．
素材2
为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN．

任务3
美美的方法中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．