2024~2025学年山东省济南市商河县九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省济南市商河县九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A．方程是二元二次方程，故不符合题意；
B．方程是分式方程，故不符合题意；
C．方程是一元二次方程，故符合题意；
D．当时，方程是一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
2. 方程经过配方后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：移项，得：，
两边同时加4，得：，
配方，得：，
故选：B．
3. 如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
直线，
，
故选：B
4. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是．设小路的宽为，下面所列方程正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：设小路的宽为，
由题意可得：，
故选C．
5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，即，
当时，，故不符合题意；
当时，，故不符合题意；
当时，不能证与相似，故符合题意；
当时，，故不符合题意；
故选：C．
6. 掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】解：由题意得，，
∵抛两枚硬币所得的结果为正正，反反，正反，反正（朝上的一面），
∴，
∴，
故选：B．
7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】解：，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
缩小实像是物体的，
，
，
焦点和关于点对称，
，
，
故选：A．
8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A. B. 3C. 或3D. 1或3
【答案】B
【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
，，，
，
解得：或，
，
，
故选：B．
9. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）

A. B. 若，则
C. D.
【答案】B
【解析】解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵ABCD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
10. 如图，正方形中，为边上一点，交的延长线于F，G为的中点，连，，则下列结论中正确的个数是（ ）

① ②平分 ③ ④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵
∴是等腰直角三角形，
又为的中点，
∴
∴，
又
∴取边中点连接
∴
∴四点在同一圆上，如图，

∴
∴
∴平分，故②正确；
③∵是的平分线，
∴点在上，
∴
过点作如图，

则
∵为的中点，
∴
又
∴，
过作于点
∴
∴四边形是矩形，
∴
又
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴
∴（负值舍去）故③正确；
④过G作交于点
∴
又，
∴即
∴为的中点，
∴是中位线，
∴
∵
∴
∴
∴
∴即
∴
∴
∵
∴
∴，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④共4个，
故选：D
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若（a、b均不0），那么______.
【答案】
【解析】解：因为，则．
故答案为：．
12. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】解：根据题意：且，
解得：且，
故答案为：且．
13. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．

【答案】
【解析】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为．
故答案为：
14. 小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面米，根据这些信息请你算出树的高度是__________米．

【答案】
【解析】解：由光学原理得，，
又，
，
，
即，
解得米．
故答案为：
15. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，点是的黄金分割点，即，若，则的长为______．

【答案】##
【解析】解：点是的黄金分割点

故答案为：．
16. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以为边，作矩形，与相交于点H．若，则_____．
【答案】
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）∵，
∴，
则，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
则，
∴或，
∴，；
（3）∵，
∴，
则或，
∴，；
（1）∵，
则，
∴或，
∴，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．

（1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2；
（2）请直接写出点的坐标：．
解：（1）如图，即为所求．

（2）根据图得，．
19. 如图，在中，，，垂足分别为，求证：四边形是矩形．
解：证明：∵，，
∴，，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴，
∴
∴，
∴四边形是矩形．
20. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______．
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率．
解：（1）∵2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，
∴小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“”的结果数为2，
体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率是．
21. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
22. 用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知．

（1）当正方形边长为80时，的长为______；
（2）若设正方形的边长．置物架的高的长为______（用含x的代数表示）；
（3）在（2）条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值．
解：（1）由题意知，，，
，
故答案为：30；
（2）由题意知，，，
，
，
故答案为：；
（3）由（2）得，
由题意得，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不合题意；
x的值为70．
23. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，求矩形的面积．
解：矩形内接于，
，
，，
，
，
同理，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即矩形的面积为．
24. 学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．

（1）求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？
（2）小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？
解：（1）过点作于点，交于点，如图所示：

则四边形，四边形都是矩形，
∴米，米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米；
（2）过点作于点交于点，如图所示：

设米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米．
25. 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
解：问题背景：证明：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：解：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：解：.
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.