2023~2024学年山东省济南市高新区九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市高新区九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看形状图不同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、从正面看和从上面看得到的图形都为长方形，不符合题意；
B、、从正面看和从上面看得到的图形都为正方形，不符合题意；
C、从正面看得到的图形为三角形，从上面看是有圆心的圆，符合题意；
D、、从正面看和从上面看得到的图形都为圆形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 1，2，3，4B. 1，2，3，6
C. 2，3，4，5D. 1，3，4，7
【答案】B
【解析】A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D.1：3≠4：7，故四条线段不成比例，不合题意；故选：B．
3. 若反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把点代入，得：，解得：，
∴反比例函数解析式为，
A、当时，，则点不在这个函数图象，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点这个函数图象，故本选项符合题意；
C、当时，，则点不在这个函数图象，故本选项不符合题意；
D、当时，，则点不在这个函数图象，故本选项不符合题意；
故选：B
4. 如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图象分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是．
故选：C．
5. 已知．则它们的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴△ABC与△DEF的相似比是，
∴它们的周长比为．
故选：A．
6. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率,故选：B．
7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，，，∴，故选：B．
8. 如图，在中，点在边上，连接，若，，，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 反比例函数的解析式是B. 一次函数的解析式为
C. 当时，最大值为1D. 若，则
【答案】D
【解析】A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标为：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故选：D．
10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意得，，解得，
在中，，
则，
，
则，
∴，
故选：A．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 若，则____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________．
【答案】
【解析】设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】，，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
14. 如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．
【答案】10
【解析】根据题意，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它们的余角相等），
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝10（m）
故答案为：10．
15. 如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点,点为直线上一动点，过作轴,交轴于点（点在原点右侧）,交双曲线于点，且，则当存在时，其面积为__________．

【答案】1
【解析】由点A在直线y=2x+1上，可设点A(a，2a+1) （a＞0），
由点B在直线y=上，AB⊥x轴，可得点B(a， )，
∴AC=2a+1，BC=，
∵AC+BC=4，∴2a+1+=4，即2a2-3a+1=0，
解得：a1=，a2=1，
∴A(1，3)，B(1，1)或A( ，2)，B(，2)，
由题意△OAB存在， 所以A( ，2)，B(，2)舍去，
∴S△OAB=AB·xA=×2×1=1.
故答案为1.

16. 已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上,顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转,当点在曲线上时,点恰好在曲线上,则的值为_________．
【答案】6
【解析】当点在轴上，点、在轴上时，连接，
为等边三角形且，则，
，
如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点，
，，
，
，
，
，
，
．

三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
解：原式．
18. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______；
（2）△的面积为______．
解：（1）如图，为所作；点的坐标为；
（2）由图可知：．
19. 如图，．求的长．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故的长为．
20. 如图所示,在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
解：（1）∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，．

（1）求k的值；
（2）求的面积．
解：（1），时，，，，故,,
中，，，
∵，
∴．
设，则，解得，
∴．
点C在上，故；
（2）联立，解得或．
∴点．
∴的面积．
22. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
解：（1）∵D所占扇形的圆心角为，∴这次被调查的学生共有：（人）；故答案为：；
（2）由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，∴．
23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0．1米）（参考数据：，，，，，）
解：（1）过点作交于点，由题意，得：，
∴；
∴真空管上端B到水平线的距离为；
（2）由题意，得：，，
∴，∴四边形为矩形，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为．
24. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
解：探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
25. 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接,，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

解：（1）∵，，
∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
拓展应用：
如图，连接，延长至点，使，连接，

∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
26. 如图①，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现
当时，＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当时，大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
（3）问题解决
当旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．
解：（1）问题发现
，，，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，故答案为：；
（2）拓展探究
的大小无变化，
理由如下：将绕点顺时针方向旋转，且点，分别是边，的中点，
，
，
，
；
（3）问题解决
如图①，点，分别是边，的中点，
，，
，
将绕点顺时针方向旋转，如图③，
，
，
，
如图④，．