2024-2025学年山东省济南市历下区九年级(上)11月期中 数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省济南市历下区九年级(上)11月期中 数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，选项C，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从左边看到的图形如图，
故选D．
2. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点在第一象限内，点，在第三象限内，
∴，，∴．
故选：B．
3. 如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
4. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，
依题意可列表格如下，
由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种，
∴她们恰好选到同一类岗位的概率是．
故选B．
5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】反比例函数中，，则反比例函数图象经过二、四象限，选项C、D不符合题意；
当时，，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意；
当时，，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意；
故选：A．
6. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，是线段的两个黄金分割点，
线段的长为，
，
，
，
四个黄金分割点组成的正方形的边长为．
故选：B．
7. 如图，直线与双曲线交于，两点，已知，则该函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：过点A作轴，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
则，
解得，
∴
故选：D．
8. 如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（ ）（参考数据：冬至时，；夏至时，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设表高，
∵冬至时，；夏至时，，
∴冬至时，；夏至时，，
∴，，
∴，，
解得：．
故表高为．
故选A．
9. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
∴
，，
，
解得，
∵，
，
；
故选：C．
10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（ ）
A. 或B. 且，
C. 或D. 且，
【答案】D
【解析】对于，未知，需分类讨论，
当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时，
∴，
∵，
∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0，
∴y1>y2，即，
∴，
∵，
∴，解得，即；
当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时，
由图象可知，时，，
∴点在第四象限的图象上，
对于分类讨论，
当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大，
∵y1>y2，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即；
当时，，此时点在第二象限的图象上，
则，，
∴，，
∵y1>y2，，
取点关于原点的中心对称点，则点，
∵，
∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
解得，即；
当时，∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去，
综上，且，，故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 若，则___．
【答案】
【解析】，，．故答案为：．
12. 近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有___只候鸟．
【答案】
【解析】依题意，，，，，，
∵累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率，
∴（只）
故答案为：．
13. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___．
【答案】
【解析】如图，令所在的水平线与交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
故答案为：．
14. 如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则___．
【答案】30
【解析】∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：30．
15. 如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造，连接，则的最小值为___．
【答案】
【解析】如图，延长交的延长线于点M，连交于点O，
∵，
∴
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，,
∴，
∴，
∴当取最小值时，此时最小，
由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”知，
时，取最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，，连接，．
（1）求和的值；
（2）求的面积．
解：（1）由题意可得：点在函数的图象上，
，即，
在反比例函数的图象上，
；
（2）由（1）可知一次函数的解析式为，令，得，
反比例函数的解析式为，
点的坐标是0,4，
由解得，，
由图象可得：点A的坐标为，
．
17. 图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，．
（1）如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长 m；
（2）如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离．
解：（1）由题意得，∴，∴，解得；
故答案为：；
（2）由题意得，∴，∴，解得；答：此时小亮与灯柱的距离为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）以原点位似中心画，使它与位似．若在第一象限内画出；
（2）在（1）的条件下，求点的坐标．
解：（1）如图，即为所作；
（2）由图可知点的坐标为．
19. 如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形中，直角尺的顶点G在上滑动，当点E落在上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若，求的长．
解：∵矩形，
∴，
∵直角尺，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表．
一分钟跳绳成绩统计表：
请根据以上信息，完成下列问题．
（1）随机抽取的学生人数为 人，统计表中的 ，统计图中B等级对应扇形的圆心角为 度；
（2）该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人?
（3）该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率．
解：（1）(人)
(人)
故答案为：，，．
（2）(人)
答：该校成绩达到B等级及以上的有人．
（3）根据题意可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种．
．
答：恰好选中“一男一女”的概率为．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值．
解：（1）由题意可知点，位于双曲线上，
∴，
解得：，
∴双曲线解析式为，，．
将代入，得：，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）由图象可知当或时，一次函数位于反比例函数下方，
∴的解集为或；
（3）根据平移可知平移后直线的表达式为，
∵四边形是平行四边形，
∴可将看作是由平移得到．
∵，，
∴得出平移方式：向右平移4各单位，向上平移4个单位，
∴点D向右平移4各单位，向上平移4个单位，得到点E．
设，则，
∵点D在上，点E在上，
∴，，
∴，
∴，，
则，
∴，
解得：．
∵点E在第一象限，
∴，
∴．
22. 2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度．
如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，．
（1）求此时液压撑杆的长；
（2）已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明．
解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得；
答：此时液压撑杆的长为；
（2）作交的延长线于点，
∵，∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵集装箱的高为，
∴使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层．
23. 小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质．
（1）刻画图象
①列表：下表是，的几组对应值，其中 ， ；
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
（2）认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当时，随的增大而 ；
②函数的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标）
（3）类比探究
①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；
②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程．
解：（1）①把代入，
得
把代入，
得；
故答案为：，
②描点：如图所示；
③如图所示：
（2）①当时，随的增大而减小；
②函数的图象的对称中心是1,0，
故答案为：增大，；
（3）①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的；
②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的，
∵与分母差值为，
∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的
24. （1）在和中，，，．
①如图1，当与重合时， ；
②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否改变？请说明理由；
（2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，，当时，求的长．
解：（1）①∵在和中，，，．
∴和均为等腰直角三角形，，
则，
∴，
故答案为：；
②不发生变化，理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∵绕点逆时针旋转一定角度，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，过作垂足为，
设
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵、是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∴是中点，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
25. 某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：
【动手操作】
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”．
操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．

【解决问题】
（1）如图，求“图象”与轴的交点的坐标；
（2）过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值；
（3）如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标．
解：（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：
∵，
∴直线为，
∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等，
∴点的纵坐标为，
将代入中，可得，
解得：
∴点坐标为，
∵，轴
∴点和点的横坐标相等，
∴点坐标为，
（2）当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：

∵轴，
∴点，的横坐标均为，
将代入中，可得，即点的坐标为，
∴，
∵，
∴直线为，
设点的横坐标均为
又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等，
∴，即
∴点的横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∵，点和点的纵坐标相等，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：

同理可得：
点的坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴，
代入数值可得，
解得：．
∴的值为或．
（3）联立直线与反比例函数，
即，
解得：，
∴点为，点为，
∵点和点是“图象”上的两个动点，
∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，
当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：

∵，直线：
∴可设直线为，
联立直线与反比例函数，即，
即：
∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴，
代入数值可得：，
解得：，（舍）
将代入，即，
解得：
∴点横坐标为，
将代入中，可得，
∴点坐标为，
∴当点坐标为时，取最大值时
同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，
连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，

∵，直线：，
故可设的函数解析式为，
将点代入中，可得，解得：
∴的函数解析式为，
联立与直线，即，
解得：，
∴点坐标为，
设点坐标为，
∵点为的中点，点
∴，
解得：，，
∴点坐标为，
∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，．
小霞 小艺
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
累计捕捉数量（只）
100
200
350
420
480
带有标记卡数量（只）
13
24
44
52
60
成绩等级
一分钟跳绳次数
频数
…
…
…
…