2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，四象限，故说法错误．，解答题等内容，欢迎下载使用。

选择题部分共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
∵在中，，，
∴由勾股定理得，，
则，
故选：A．
2. 对于反比例函数，下列描述正确的是（ ）
A. 图象位于一、三象限B. 图象不可能与坐标轴相交
C. y随x的增大而增大D. 图象必经过点
【答案】B
【解析】A、∵，∴反比例函数的图象在第二、四象限，故说法错误．
B、∵反比例函数图象无限接近坐标轴，但不会相交，故说法正确；
C、反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，故说法错误；
D、当时，，故图象不经过点，故说法错误；
故选：B．
3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A． ，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意；
B．，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意；
C．，抛物线对称轴为直线，故该选项不符合题意；
D．，抛物线对称轴为直线x=1，故该选项符合题意．
故选：D．
4. 如图，一支反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）

A. 3B. ﹣3C. 6D. ﹣6
【答案】D
【解析】设A点坐标为A（x，y），
由图可知A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵AB⊥x轴，
∴AB=y，OB=|x|，
∴S△AOB=AB×OB=y×|x|=3，
∴xy=-6，
∴k=-6
故选：D．
5. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由平移规律可得：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为：．故选A．
6. 某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：平行墙的边长为，∴面积，故选：D．
7. 如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长为（参考数据：）（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】如图：分别过作垂线垂直于l，
∵，，
∴．
根据题意，得
在中，，
∴，解得：,
∴,
∵长方形卡片，
∴．
故选C．
8. 若点都在反比例函数的图象上,则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
反比例函数中，，
反比例函数图象位于二、四象限，
且每个象限内随的增大而增大，
点，
点在第四象限，点在第二象限，
，
，
且，
，
故选：B．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（ ）
①；②；
③；④一元二次方程有两个不等实数根．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】由图象得：，，
∵顶点坐标为，
∴对称轴为：，即：，
∴；
∵抛物线的一个交点在点和之间，对称轴为，
∴抛物线的另一个交点在点和之间，
∴当时，，故①正确；
当时，，即，故②正确；
∵顶点坐标为，
∴，，故③正确；
∵顶点坐标为，
∴抛物线与直线有一个交点，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，④正确；
综上，正确的结论有4个．
故选：D．
非选择题部分共110分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案）
11. 如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
【答案】45
【解析】∵点P的坐标为（3，4），
∴OP=，
∴.
故答案为：.
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．则k的值为____________．
【答案】1
【解析】直线与双曲线的一个交点是．
，
解得，
即，
，
解得，
故答案为：1．
13. 如图，点，点C是一点，若，则____________．
【答案】3
【解析】由题意可知，，，，
，，，故答案为：3．
14. 抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为____________．
【答案】
【解析】令，即，
解得：，
∴点，
∵C点的横坐标为2，
将代入，
得，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
设点，
则点，
∵点E在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方，
∴，
∴当时，的长度最大，最大值为．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为____________．
【答案】
【解析】过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点,如图所示：
点的坐标为，
，
，，
，
，，
，
，，则，
，
点、都在反比例函数上，
，即，
解得，（舍去），
点的坐标为，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
解：．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，BC＝2，求AB的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴＝＝.，
∵BC＝2，
∴＝，即AC＝6.，
又∵＝，
∴＝40，
∴AB＝.
18. 通过配方法，求二次函数图象的顶点坐标．
解：
，
∴抛物线的顶点坐标是．
19. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为4，B的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，
∴、关于原点对称，
∴，把代入可得：，∴；
（2）由图象可知，不等式的解集是或．
20. 已知二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
解：（1）将代入中，
得：，解得：，
该二次函数解析式为；
（2）当时，，
点不在这个二次函数的图象上．
21. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
（1）求反比例函数的表达式及A点坐标；
（2）过点A作轴，垂足为D，求的面积．
解：（1）将代入得：
解得：，
∴，
设反比例函数的表达式为，
将代入，得
∴反比例函数的表达式为：
，
由得：，
解得：，
将代入，解得
；
（2）
22. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长；
（2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：）
解：（1）如图2，在中，，
，
，的长为；
（2）如图3，在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，∴遮阳篷的长为．
23. 电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？每天最大利润是多少？
解：（1）由题意得：，
整理得：．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
；
（2）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
．
，
∴当时，利润最大，，
答：销售单价30元时，每天销售最大利润为8000元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．

（1）求的值；
（2）若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵将绕点顺时针旋转得到，
，
过点向轴作垂线，交轴于点，如图所示：

，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
∵点在反比例函数的图象上，；
（2）存在．理由如下：
，，为双曲线上一点，
设，
在平面内找一点，使四边形是平行四边形，如图所示：

∴由点的平移性质可知，
当平行四边形是矩形时，，则由两点之间距离公式得到，
，即，解得，
．
25. 如图，抛物线与x轴交于点两点，顶点为点，连接，点P为抛物线上位于第二象限内的一个动点，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）连接，求面积的最大值．
解：（1）∵抛物线顶点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入抛物线表达式，
可得：，解得，
∴抛物线表达式为；
（2）设点D的坐标为，则，由对称性得：
为等腰三角形，点P在第二象限，
，
在中，由得：
，
解得：，
；
（3）设，过点P作轴，
则，
，
，
，
，
把代入，
面积的最大值为2．