2023~2024学年山东省青岛市城阳区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市城阳区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程x2=x的解是（ ）
A. x=1B. x=0C. x1=1，x2=0D. x1=﹣1，x2=0
【答案】C
【解析】解：x2-x=0，
x（x-1）=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
故选：C．
2. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是一个小正方形．
故选：B．
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则点A的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
∴，
故选：A．
4. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A. 小鱼与大鱼的周长之比是
B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是
C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D. 若小鱼上一点的坐标是，则大鱼上的对应点的坐标是
【答案】C
【解析】解：A、小鱼与大鱼的相似比是，则周长之比是，所以A选项不符合题意；
B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是，所以B选项不符合题意；
C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；
D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选：D．
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为．
故选B．
7. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割
【答案】D
【解析】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2023年底某市汽车拥有量为万辆．已知2021年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2021年底至2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，那么根据题意列出的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设2021年底至2023年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，根据题意列出的方程为，
故选：A．
9. 如图，四边形中，，，连接，的角平分线交，分别于点O、E，若，，则的长为（ ）

A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接．

在中，，，根据勾股定理，得．
∵，平分，
∴，，
∴垂直平分，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，
由勾股定理得出，
∴，
故选：D．
10. 如图，已知抛物线与直线交于两点．下列结论：；；③关于x的不等式的解集是；；⑤关于x的方程无解；其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】解：由抛物线图象可知，，
∴，
∴，故结论①不正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，故结论②正确，符合题意；
由图象可知，关于x的不等式的解集是或，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线图象可知，当时，抛物线对应的函数值小于0，
即，
∵，
∴，故结论④正确，符合题意；
由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于和之间，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于x的方程无解，故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算： _______．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
12. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 _______．
【答案】42
【解析】根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.6，长方形的面积为（），
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
∴不规则图案的面积约为．
故答案为：42．
13. 已知正方形，分别以为边长作等边和等边，连接，则_______．
【答案】15
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
14. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______．
【答案】或##或
【解析】解：画函数和的图象如下：
由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即，
第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，
联立两函数解析式：
解得：
即，
故答案为：或．
15. 若直线与抛物线只有一个交点，则a的值是____.
【答案】2或
【解析】解：由题意可知：，
整理得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，，
故答案：2或．
16. 中，，，分别过点A，C作边的垂线相交于点D，连接，则_______．
【答案】3
【解析】解：作于点F，交的延长线于点E，则，
∵，
∴，
∵，且，，
∴，
解得，
∴， ，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17. 如图，已知：．
求作：点N，使，且距离最短．
解：1、以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交于点K，点P；
2、再以为半径，点C为圆心，画弧，交于点H；
3、以的长度为半径，点H为圆心，画弧，交前弧于点G，连接并延长；
4、以点B为圆心，大于点B到直线的距离为半径，画弧，交于点D，点E；
5、再分别以点D，点E为圆心，大于的长度为半径，画弧，交于点F；
6、连接，交于点N，则点N即可所求．
如图所示：
，
点N即是所求．
四、解答题（本大题共8小题，满分68分）
18. （1）解方程：；
（2）用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标．
解：（1），
，
，
，
，
或，
；
（2），
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
19. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这是大家耳熟能详的二十四节气歌，“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示）
解：；列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选择A和D的有2种，
（立春和大寒），
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的概率为．
20. 大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
解：（1）由题意设：，
把代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
21. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：）
解：延长交的延长线于点M,过点C作于点N，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
，
在中，设，
由勾股定理得，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：摩天轮的高度约68米．
22. 已知：如图，在矩形中，，G，H分别是的中点，E，F是对角线上的两个点，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若四边形为矩形，求的长度．
解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
，，
，
即，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）连接，在矩形中，，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
当四边形为矩形时，
，
．
23. 【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明和全等即可．
① ② ③ ④
【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．

解：（1）∵，，
∴，
∴；
故答案为：④；
（2），理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
即；
（3）由（2）可知：，
，
，
，
，
．
24. 高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离．
（3）在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．
解：（1）把代入，
，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式；
（2）由题意得：，
解得（舍去），
答：到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地．
（3）把代入，
解得，
，
，
，
时，值最大，
答：当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米．
25. 如图①，已知在中，cm，cm，以为边作正方形，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
（1）是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（2）当t为何值时，为等腰三角形？
（3）如图②，连接MQ，设四边形的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（4）当时，求t的值．
解：（1）假设存在点P在的垂直平分线上，连接，
∵点P在的垂直平分线上，
，，
又
解得：，
，
故都不符合题意，舍去；
答：不存在．
（2），
当时，
解得：；
当时，
如图1，过点Q作于点F，
，
，
，
又 ，
，
解得：；
当时，如图1，过点P作于点H，
，
，
，
，
；
，
解得：；
答：t的值为或时，为等腰三角形．
图1
（3）如图2，过点Q作于点G，
，
；
又
即．
图2
（4）如图1，，
，
，
，
，
同理，；
，
，
解得：．
2
1
A
B
C
D
A
B
C
D