2023~2024学年山东省青岛市即墨区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市即墨区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】俯视图如图所示．
故选：A．
2. 关于x的一元二次方程无实数解，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程无实数解，
∴，
解得：，
故选B
3. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
故选：C．
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）

A. 4B. 4C. 8D. 8
【答案】C
【解析】∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故答案为：C．
5. 张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两只正好配成一套穿在脚上的结果数为，所以随手拿两只正好配成一套穿在脚上的概率为：．
故选：D．
6. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴对称轴为直线，且，
∵，，，
∴点A到对称轴直线的距离为，
点B到对称轴直线的距离为，
点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴．
故选：C．
7. 如图，在中，，D是的中点，边D点作的垂线交于点E，，，则为（ ）
A. B. 10C. D. 15
【答案】A
【解析】解：在中，，
又∵，
∴，
由题意可得垂直平分，即，，
在中，，
，
由勾股定理可得：，
故选：A
8. 如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A. 3B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴
解得：x=4．
故选：B．
9. 如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，、交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】解：四边形为正方形，
，，
E、F分别是、的中点，
，
，
，
①正确；
由①知，，
，
，即，
②正确；
如图，延长交的延长线于点，
由题知，，
，，
，
，
，
由②知，
为斜边上的中线，
，
③正确；
若，则，
有为等边三角形，即，
，
，
④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
10. 已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】解：
．
12. 如图，已知 AB//CD//EF，，BE=12，那么 CE 的长为_____.
【答案】
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴,即
∴
∴
故答案为
13. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______．
【答案】
【解析】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴∽，
∴，
又∵S△AOC＝×4＝2，
∴S△OBD＝，
∵第二象限的点在反比例函数上
∴k＝．
故答案为．
14. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________．
【答案】
【解析】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元，
该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个，
销售电子产品的个数为：个，
根据题意可列出方程：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点D为边的中点，则的值为________．
【答案】
【解析】解：作于点，如图所示：
在中，，，
，
点D为边的中点，
，
于点，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：
①；
②方程必有一个根大于2且小于3；
③若，是抛物线上的两点，那么；
④；
⑤对于任意实数m，都有，
其中正确结论的序号是________．
【答案】②④⑤
【解析】①根据图象可知：，
∵对称轴是直线，
即，
，
，故①错误；
②方程，即为二次函数与轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
∴另一个交点，故②正确；
③∵对称轴是直线，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误.
④，
∴，
，
根据图象，令
，
∴
，
，故④正确；
⑤∵对称轴是直线，
∴当时，y值最小，即为，
∴当时，，
即，
∴，故⑤正确；
综上②④⑤正确，
故答案为：②④⑤．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17. 已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC＝a，边BC＝b．
解：如图，矩形ABCD即为求作的图形；
四、解答题（本题满分68分）
18. （1）解方程：
（2）在平面直角坐标系中，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴有且只有一个交点，求n的值．
解：（1），
，
，
，
∴，；
（2）解：设平移后的解析式为，
∵平移后的图象与x轴有且只有一个交点，
∴，
解得．
19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
解：（1）由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
（2）列表如下：
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
20. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）
解：
过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，
，
四边形BENF为矩形，
，
设，
在中，
斜坡的坡度，即，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
所以，大楼的高度为92米．
21. 如图，一次函数与反比例函数相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知，的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出使的x的取值范围．
解：（1）由题意点，
在中, ，
，
，
，
，
，
把 代入得到 ，
∴一次函数的解析式为，
面积为，设，
，
，
∴，
，
∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2） ，得 或 ，
∴，
观察图象，使 的的取值范围是或
22. 如图1，点P在正方形对角线上，正方形的边长是a，的两条直角边，分别交边，于点M，N．
（1）操作发现：如图2，固定点P，使绕点P旋转．
①当，时，四边形的边长是________；
②当，（n是正实数）时，四边形的面积是________．
（2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点P在矩形的对角线上，的两条直角边，分别交边，于点M、N，固定点P，使绕点P旋转，则________．
解：（1）①如图2，
，
，
，
又，
， 即 ，
，
即正方形的边长是 ，
故答案为： ；
②当时(是正实数), ，
，
∴四边形的面积，
故答案为：；
（2）如图，过作于，作于，
则 ，
中, ，
，
，
∴
∵，，
，
∵
即 ，
，
故答案为：．
23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
解：（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE
∵AFBC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∵D是BC的中点，
∴AD=BD=BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：连接DF交AB于O，如图
由（1）知：四边形ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40，
∴=40，
∴DF=10，
∴OD=5，
∵四边形ADBF是菱形，
∴O是AB的中点,
∵D是BC的中点，
∴OD是△BAC的中位线，
∴AC=2OD=2×5=10．
答：AC的长为10．
24. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知，，，，，．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．

（1）求直线的表达式；
（2）若设点P的横坐标为x，矩形的面积为S．
①用x表示S；
②当x为何值时，S取得最大值？
解：（1）由题意, ，
，
∴的坐标为、，
设直线的解析式为 则
，解得 ，
∴直线的解析式为 ；
（2）①由题意, 设点的坐标为，
∵点在直线上，所以点的坐标可以表示为，
，，
；
②由
∴当 时，矩形面积的最大值为：
25. 小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，米，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．
（1）求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式；
（2）请通过计算说明两种击球方式是否过网；
（3）要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式．
解：（1）由题意得, 二次函数的顶点为，
∴可设二次函数的表达式
又由一次函数关系 ，
∴令 得, ，
∴，
，
，
∴吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式为；
（2）由题意，令 时，
一次函数 ，
二次函数 ，
又球网的高度为米，
∴两种击球方式均能过网；
（3）令，一次函数 ，解得 ，
二次函数，解得或 (舍去)
，
，，
，
，
∴吊球的落地点距离点更近．
26. 如图①，四边形中，，，，，．动点M在上运动，从C点出发到B点，速度为每秒；动点N在上运动，从B点出发到A点，速度为每秒．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接，是否存在某一时刻t，使与互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
解：（1）分两种情况:①作于，
根据题意得，，
在 中，由勾股定理可得，
若
∴，
即，解得：；
②当 时,
，
解得：；
综上为 或 时，是直角三角形；
（2）
，
又∵从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点所需的时间为秒，依题意，两者取小值秒，
；
（3）存在某一时刻，使与互相垂直；理由如下：
当时，，
∴，
如图②, 过点作于,
依题意得：，，
，
解得： 秒，符合题意.，
∴存在，使与互相垂直．甲
乙
丙
丁
甲
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙