2023~2024学年山东省青岛市崂山区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市崂山区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是由4个大小完全相同的小正方体组成的，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由图可得主视图是，
，
故选：．
2. 如图，四边形是圆内接四边形，对角线经过圆心与相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】、由同弧所对的圆周角相等可得，，此选项符合题意；
、∵四边形是圆内接四边形，
∴，此选项不符合题意；
、∵是直径，
∴，此选项不符合题意；
、连接，
由圆周角定理得，此选项不符合题意；
故选：．
3. 某旅游景点年月份共接待游客万人次，年月份共接待万人次，设每月旅游人数的平均增长率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设每月旅游人数的平均增长率为，依题意得：，
故选：．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 四条边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】解：、四条边相等的四边形是菱形，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意；
故选：．
5. 已知反比例函数的图象上两点，当时，有．则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：当时，有，
，
，
故选：B．
6. 如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵方程有两个不等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后抛物线的顶点为，
∴新抛物线解析式为，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点的坐标为，点的坐标为 ，
∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
∴点在新坐标系中的坐标为 ，即 ，
则点在原坐标系中的坐标为，
故选：．
9. 如图，是的直径，点在上，直线与相切线于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，连接，，
直线与相切线于点，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
故选C．
10. 如图，二次函数图象一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
；
；
关于的一元二次方程的两根分别为和；
若点，，均在二次函数图象上，则；
（为任意实数）．
其中正确的结论个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∵对称轴在轴右侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
∴，
∴，故正确；
∵对称轴为，
∴，
由图象可知，当时，，
∴，故正确；
∵对称轴为，与轴的一个交点坐标为，
∴与轴的另一个交点坐标为，
∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故正确；
∵点，，均在二次函数图象上，对称轴为，
当与时，的值相等，
∴时，随增大而减小，
∵，
∴，故错误；
∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∴当时，抛物线有最小值，即，
∴，故错误；
综上可知，正确，共个，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：cs245°＋ tan30°sin60°=____________．
【答案】1
【解析】解：原式＝
．
故答案为：．
12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高______．
【答案】3.7
【解析】解：由题意知，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.7．
13. 如图，在中，，且，，是的平分线，与相交于点，，，垂足为点，交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】解：中，，
，
由题意知 垂直平分，
，，
又，
，
，
，
和中，
，
，
，
四边形的面积，
故答案为：．
15. 如图，点在上，若圆的半径为4，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】解：连接、，过点O作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点．以下结论：
①；②；③；④．正确的有______．
【答案】①③④
【解析】解：正方形中，，点是边的中点，
，，
，故①正确；
正方形中，，
，，
，
，
，故②错误；
如图，过点E作于点Q，于点P，
则，
四边形是矩形，
又平分，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故③正确；
是等腰直角三角形，
，
由折叠的性质得，，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
17. 已知：内有一点.
求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上．
解：过点P作于点G，
再以点G为圆心，长为半径画弧，交于点E，F，连接，，
则，，
为线段的垂直平分线，，
为等腰直角三角形，
则即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18. 计算：
（1）解方程：；
（2）化简．
解：（1），
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（2）原式，
，
．
19. 在中国共产党成立周年之际，某中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．小杰和小明参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中小杰和小明参加同一项活动的结果数为，
∴他们参加同一项活动的概率．
20. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中．如图所示，某同学站在广场的处遥控无人机，他抬头仰视无人机时仰角为，此时从无人机测得广场处的俯角为，若该同学眼睛到地面的距离，（点在同一平面内），求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，
，，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴之间的距离约为．
21. 城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

解：如图，建立平面直角坐标系，

由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
22. 在中，，分别为边，上的点，与相交于点．
（1）若，，
（）______；
（），则______；
（2）若，，______．
解：（1）（）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
解：（1）∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得 ，(舍去)，
∴点的坐标为，
∵点，在一次函数的图象上，
把点 ，分别代入，得：，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴点的坐标为．
24. 如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论．
解：（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解;在中点时，四边形是矩形，理由，
由（）得：，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴， 即，
∵，
∴，
∴，
即在中点时，四边形是矩形．
25. 某水果超市以元千克购进一定数量的种水果，若每千克售价为元，每天可以售出千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，每千克种水果的售价每上涨元，日销售量就减少千克．
（1）若该水果超市希望每天销售种水果盈利元，那么这个水果超市种水果每千克的售价应上涨多少元？
（2）按照有关管理部门规定，利润率不得高于，那么每千克的售价定为多少元，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设水果超市种水果每千克的售价应上涨元，根据题意，得，
整理得，，
解得，，
答：水果超市A种水果每千克的售价应上涨或元；
（2）设每千克的售价定为元，利润为元，
，
，
，
∵，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，
，
答：每千克的售价定为元，才能使每天所获利润最大，最大利润是元．
26. 在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．

（1）为何值时，？
（2）当时，求值；
（3）如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，，，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴，，，
当，，
∴，
解得：，
∴为时，；
（2）由题意得：，，
∴，
当时， 则 ，
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴当或时，；
（3）沿折叠，得到，存在某一时刻，使四边形为菱形，值为理由：
过点作于点，过点作于点，如图，
由题意得：，，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
若四边形为菱形，只需，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴沿折叠得到，四边形为菱形时的值．