2024-2025学年湖南省永州市新田县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年湖南省永州市新田县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、正比例函数，不符合题意；
C、不是反比例函数，不符合题意；
D、是反比例函数，符合题意；
故选D．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、方程化简后不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程化简后不含有2次项，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：若，则，
A．由，可得，故本选项符合题意；
B．由，可得，故本选项不合题意；
C．由，可得，故本选项不合题意；
D．由，可得，故本选项不合题意；
故选：A．
4. 如图，点时反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：点P是反比例函数图象上的一点，函数的图象在第二象限，
，
∵矩形面积是4可知，
∴反比例函数的解析式为：．
故选：D．
5. 关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ）
A. B. C. D. m任意实数
【答案】A
【解析】解：是关于x的一元二次方程，
，
，
，
故选：A．
6. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：A．
7. 如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B．
8. 如图，在中，，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
9. 已知，点D、E、F分别为的三边、、的中点，连接、、，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵点D、E、F分别为的三边、、的中点，
∴，，，，，，故A不符合题意；
∴，故B不符合题意；
∵，，，
∴四边形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，故D不符合题意；
若，则，
∵点D、E分别为的三边、的中点，
∴，与题干条件矛盾，故C符合题意；
故选：C
10. 不论a，b为何实数，的值（ ）
A. 总是正数B. 总是负数
C. 可以是零D. 可以是正数也可以是负数
【答案】A
【解析】解：
；
∵，
∴a2+b2-2a-4b+7=a-12+b-22+2>0，
即：的值总是正数；
故选A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为______．
【答案】
【解析】解：设函数解析式为，
∵当时，，
∴；
∴；
故答案为：．
12. 一元二次方程的解是__．
【答案】x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
13. 已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为-3，则p=________．
【答案】4
【解析】方程的解：x=-3是该方程的解，所以，当x=-3代入方程可以得到，9-3p+3=0
故p=4.
14. 如图，，，，，则DE＝______．
【答案】
【解析】解：，，
，
，即，
解得，，
故答案为：．
15. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（），如果AB的长度为，那么的长度为_________．
【答案】
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点，，
∴，
∵AB的长度为，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）．
【答案】
【解析】解：反比例函数中，
该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大，
，，
．
故答案为：．
17. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为______尺．
【答案】
【解析】解：依题意有，
∴，
即，
解得，
∴（尺）．
故答案为：．
18. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（，，，为常数），下列说法：
①方程的解为；
②若，则方程必有一根为x=-1；
③若，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为；
④若，则方程有两个不等实数根；
⑤若，则方程有两个相等的实数根，
正确的结论是________．
【答案】②③④
【解析】①对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），
当△=b2-4ac＜0时，方程无解；
当△=b2-4ac≥0时，方程的解为，故原说法错误；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1为方程ax2+bx+c=0的一根，故原说法正确；
③∵b=2a+ c，
∴4a-2b+c=0，
∴当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=-2，故原说法正确；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b2-4ac＞0，
∴方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，故原说法正确；
⑤当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根；
当c=0时，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有两个相等的实数根，故原说法错误．
故答案是：②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
或；
∴，；
（2）
或；
∴，．
20. 如图，已知，求证：．
解：证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）由图象可知：当时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22. 已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
（2）∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得成立?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意得，
解得，；
（2）根据题意得，，
∵，
∴，即，
∴，整理得，
∴，且
解得，，（不符合题意，舍去），
∴．
24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），
故答案为：100；
（2）依题意得：，
∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；
（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．
25. 如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）．
（1）求的面积S关于t的函数解析式；
（2）若的面积是面积的，求t的值；
（3）的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）当运动时间为时，，，，
∴，
∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动，
∴，
∴；
（2）根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：．
答：的值为2；
（3）的面积不可能是面积的一半，理由如下：
根据题意得：，
即，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
∴的面积不可能是面积的一半．
26. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，)
(1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长；
(2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长；
(3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长；
(4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？
解：（1）在图1中作的高交于M．在中，
∵
∴．
由，得：，
∴．
设正方形的边长为x，则，解得：．
即正方形的边长为．
（2）方法同（1），如图2．，则．
设小正方形的边长为x，则，解得：．
即小正方形的边长为．
（3）在图3中，作，交于点，交AB于点．
由，得：，
∴．
设正方形的边长为x，则，解得：．
即正方形的边长为．
（4）设每个正方形边长为x，同理得到：
则=，则，
∴每个小正方形的边长为．