湖南省长沙市怡海中学2025届九年级上学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市怡海中学2025届九年级上学期入学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-6的相反数是( )
A. -6B. -16C. 6D. 16
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 1,1, 2C. 1, 3,2D. 8，15，17
3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为( )
A. 1.29×108B. 12.9×108C. 1.29×109D. 129×107
4.下列计算正确的是( )
A. x6÷x4=x2B. 5+ 6= 11
C. (x3)2=x5D. (x+y)2=x2+y2
5.函数y=-x2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x0)上的“和谐点”，且8 2≤AB≤10 2，求m的取值范围；
(3)若“和谐函数”y=-14x2+(m-k+2)x+n+k-1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当-5≤m≤-1时，n的最小值为k，求k的值．
25.(本小题11分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.A
8.B
9.D
10.C
11.甲
12.(-2,0)、(53,0)
13.-2
14.4 55
15.3
16.②③④
17.解：(1)将x=65y=55，x=75y=45代入y=kx+b中55=65k+b45=75k+b，
解得：k=-1b=120，
∴y=-x+120(60≤x≤87)．
(2)W=(-x+120)(x-60)，
W=-x2+180x-7200，
W=-(x-90)2+900．
(3)又∵60-2x-3≥0的解集为直线AB在直线MD上方部分，直线MD在x轴以及x轴上方部分所对应的x的取值范围，
由图象可知，不等式kx+b>-2x-3≥0的解集为-30，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m-1)2，
∴AB= (x1-x2)2+(x1-x2)2
= 2|x1-x2|
= 2 (x1+x2)2-4x1x2
=4 2m，
∵8 2≤AB≤10 2，
∴8 2≤4 2m≤10 2，
∴4≤m≤254；
(3)∵“和谐函数”y=14x2+(m-k+2)x+n+k-1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
∴x=14x2+(m-k+2)x+n+k-1，且Δ=0，
∴14x2+(m-k+1)x+n+k-1=0，
Δ=(m-k+1)2-n-k+1=0，
∴n=(m-k+1)2+1-k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k-1，
①若k-1≥3，即k≥4，当m=3时，n有最小值k，
(3-k+1)2+1-k=k，
∴k=5+2 2或5-2 2(舍去)；
②若k-1≤-1，即k≤0，当m=-1时，n有最小值k，
(-1-k+1)2+1-k=k，
解得k=1(舍去)；
③若-1