四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知，，且满足，则的最小值为( )
A.3B.C.6D.9
4．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：
根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )
A.30万元B.32万元C.36万元D.40万元
5．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )
A.B.C.D.
6．已知为第一象限角，且，则( )
A.9B.3C.D.
7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）.如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为( )（参考数据：）
A.33hB.35hC.37hD.39h
8．已知函数，，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列的前n项和为，且，，则( )
A.B.
C.是等比数列D.存在大于1的整数n，k，使得
10．已知函数在上有且仅有4个零点，则( )
A.
B.令，存在，使得为偶函数
C.函数在上可能有3个或4个极值点
D.函数在上单调递增
11．已知函数的定义域为R，不恒为0，且，则( )
A.可以等于零B.的解析式可以为：
C.曲线为轴对称图形D.若，则
三、填空题
12．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则__________.
13．已知函数，m为正的常数，则的零点之和为__________.
14．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为__________.
四、解答题
15．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.
（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
参考公式及数据：，.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，
（1）求的面积；
（2）若，求A.
17．已知数列，满足，且是与的等比中项.
（1）若，求的值；
（2）若，设数列，的前n项和分别为，.
（ⅰ）求数列，的通项公式；
（ⅱ）求.
18．已知函数.
（1）当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围.
19．已知函数，在上的最大值为.
（1）求实数a的值；
（2）若数列满足，且.
（ⅰ）当，时，比较与1的大小，并说明理由；
（ⅱ）求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由，可得，所以，
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：若，则，，因此，
当，时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：，
，
，，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为9.
故选：D.
4．答案：D
解析：，，
因过点，故，得，
故当时，，得，
故选：D.
5．答案：C
解析：对于A，令，，，
所以是偶函数，故A错误；
对于B，在和上单调递增，在和上单调递减，故B错误；
对于C，令，，，
所以是奇函数，
又，所以是R上的增函数，故C正确；
对于D，令，，
则，所以函数在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D错误.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意知为第一象限角，且，
故，解得或（舍去），
则，
故选：B.
7．答案：C
解析：依题意，，解得，即，
当时，，即，
解得，
所以消除60%的污染物需要的时间约为37h.
故选：C.
8．答案：A
解析：令，，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
令，，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线；
由关于x的不等式，
可知，当时，，即有；
当时，，即有；
作出函数图象如图：
要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个，
显然不能满足题意，故需满足，即，
解得，即m的取值范围为，
故选：A.
9．答案：AB
解析：由，可得，，
两式相减可得：，，
又，，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
所以，A正确；
，所以，B正确；
由，可得，，，显然，可判断不是等比数列，C错误；
若，即，
也即，显然不存在大于1的整数n，k，使得等式成立，D错误；
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：
，
对于A，，，因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，，故A正确；
对于B，，
为偶函数，则，，即，，
，取，为偶函数，满足题意，故B正确；
对于C，，，
，，
函数在上可能有4个或5个极值点，故C不正确；
对于D，若，则，
，，，
函数在上单调递增.故D正确；
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：令，可得，可得，
解得或，
当时，则可得，
则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误；
令，可得，，所以为偶函数，
因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确；
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确；
令，，则可得，
所以，，又，
解得，所以是以为首项，0为公差的等差数列，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由，故，
则，故.
故答案为：.
13．答案：
解析：函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，，，，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：.
14．答案：
解析：，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，令，可得，，
若，即时，则时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
所以2是函数的极大值点，符合题意；
若即时，则时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
所以2是函数的极小值点，不符合题意；
若即时，则时，，函数单调递增，
函数无极值点，不符合题意.
综上，当时，2是函数的极大值点.
故答案为：.
15．答案：（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为
（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关
解析：（1）根据已知条件，填写列联表如下：
男生有报考军事类院校意向的概率为，
女生有报考军事类院校意向的概率为.
（2），
所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）在中，由余弦定理及，得，
整理得，而，所以的面积.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
于是，即，
整理得，即，
因此，即，由，得，解得或，
所以或.
17．答案：（1）2
（2）（ⅰ），
（ⅱ）
解析：（1）由可得，，
由题意可知是与的等比中项，故，
可得，即，又因，故，
故.
（2）（ⅰ）由得，
由题意可得，得，
故，
故，
又满足上式，所以，，
故，.
（ⅱ），
.
18．答案：（1）有3条切线，
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）当时，，，
设切点为，
因为切线过点，所以切线斜率存在，故可设切线方程为，
则，化简可得，
即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，
故有3个不等的实根，
所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故，
所以切线方程为.
（2），
当时，，所以函数在R上单调递增；
当时，，所以或时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，所以或时，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上，时，在R上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增，
在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，函数仅有1个零点1；
当时，由（2）知，的极大值为，且当时，，
若有唯一零点，则，解得，故，
当时，由（2）知，的极大值为，同理，
若有唯一零点，则，解得，故，
综上，实数a的取值范围.
19．答案：（1）
（2）（i），理由见解析
（ⅱ）证明见解析
解析：（1），，
当时，，，，则在上单调递增，
当时，，，，则在上单调递减，
，解得.
所以实数a的值为2.
（2）（i）由（1）知，，
所以，即，
，，
下面用数学归纳法证明，（，），
当时，，，
假设（，）时，命题成立，则，
当时，有成立，
所以上述命题对，，均有成立.
（ii）当时，成立，
当时，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，
即，又由（i）知，则，
，，，
，即，得证.
广告支出x/万元
2
5
8
11
15
19
利润y/万元
33
45
50
53
58
64
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
100
400
500
女学生
100
300
400
合计
200
700
900