人教版数学八上期末专题强化训练二 因式分解的四大方法和化简应用综合练（含答案详解）

这是一份人教版数学八上期末专题强化训练二 因式分解的四大方法和化简应用综合练（含答案详解），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·山东·夏津县万隆实验中学）多项式与多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东·济宁市第十五中学）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．（2022·湖南·株洲市景弘中学）已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
4．（2022·全国·八年级专题练习）如果，则是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肃·张掖育才中学八年级期中）已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )．
A．b＝3，c＝－1B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4D．b＝－4，c＝－6
6．（2022·福建泉州·八年级阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ）
A．B．4043C．D．1
7．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则代数式的值为（ ）
A．2020B．2024C．2021D．2034
8．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63B．63和65C．65和67D．64和67
10．（2021·全国·八年级专题练习）关于的多项式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·全国·八年级专题练习）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0B．1C．2D．3
12．（2022·湖北荆州·八年级期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
13．（2022·重庆黔江·八年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
14．（2022·广东潮州·八年级期末）已知满足，则的值为（ ）
A．1B．－5C．－6D．－7
15．（2021·四川内江·八年级期末）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
16．（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）分解因式：2a3﹣8a=________．
17．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）因式分解：__________．
18．（2017·山东·邹平双语学校八年级期中）已知，，则=_____________．
19．（2022·广东·东华学校八年级期中）若且，则_____．
20．（2022·北京十四中八年级期中）在学习整式乘法一庶时，小明发现
，
……
（1）借助小明发现的等式，不完全归纳
_________________；
（2）利用（1）中的规律，因式分解_________________；
（3）运用新知：计算__________________．
21．（2022·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）求的最小值___________．
22．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）下列各式能在实数范围内因式分解的是：①；②；③；④；⑤；⑥．_______（请填序号）．
23．（2021·全国·八年级专题练习）已知， 则_______．
三、解答题
24．（2018·全国·八年级单元测试）把下列各式因式分解：
；
；
．
25．（2021·全国·八年级单元测试）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
26．（2022·江西吉安·八年级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：_________；
（2）因式分解：；
（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
27．（2021·云南·昆明市第三中学八年级期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
28．（2021·全国·八年级专题练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
29．（2021·全国·八年级课时练习）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
30．（2021·全国·八年级单元测试）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：= ．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
31．（2018·全国·八年级课时练习）请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
32．（2022·全国·八年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
参考答案：
1．A
【详解】解：把多项式分别进行因式分解，
多项式，
多项式=，
因此可以求得它们的公因式为（x-1）．
故选A
2．C
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．
【详解】解：A、有公因式是，该选项不符合题意；
B、有公因式是，该选项不符合题意；
C、没有公因式，该选项符合题意；
D、有公因式是，该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确地找出多项式的公因式是解此题的关键．
3．C
【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解；
②，能用完全平方公式进行因式分解；
③不能用完全平方公式进行因式分解；
④，能用完全平方公式进行因式分解；
因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④．
故选：C．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．C
【分析】根据因式分解，进行计算即可得．
【详解】解：
，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解．
5．D
【分析】利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
【详解】解：∵2(x-3)(x+1)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6，
又∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)，
∴b=-4，c=-6，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，计算整式乘法，对应找到各项系数是解题关键.
6．C
【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
7．D
【分析】首先根据题意可得，再由可得，把代入即可求得其值．
【详解】解：，
，

故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握和运用代数式求值问题的方法是解决本题的关键．
8．A
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式化简后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
则原式．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．B
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点睛】此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案．
10．A
【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【详解】解：原式＝
∵，，
∴原式≥－1，
∴原式的最小值为－1，
故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．
11．D
【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
12．C
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
13．C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
14．A
【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11
∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，
∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0
∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，
∴a+b-c=3-1-1=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算．
15．D
【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
，
，
∴
故选D.
【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.
16．2a（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】．
17．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．28或36
【详解】解：∵，
∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，==﹣2×2=28；
②当a+b=8，ab=﹣2时，==﹣2×（﹣2）=36；
故答案为：28或36．
【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．
19．
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
20．
【分析】（1）根据题意找到规律进行求解即可；
（2）根据（1）所求进行因式分解即可；
（2）令，再根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵，
，
，
，
……
∴，
故答案为：；
（2）由（1）可知，
故答案为：；
（3）∵，
∴当时，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意找到是解题的关键．
21．6
【分析】先对进行变换，再根据平方的非负性质进行解答即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，即的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解、完全平方公式和平方的非负性质，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
22．①②④⑤⑥
【分析】利用公式法分解因式，即可判断①；利用十字相乘法分解因式，即可判断②；根据因式分解的定义，即可判断出③；利用配方法和公式法分解因式，即可判断④；利用公式法分解因式，即可判断⑤；对式子整理后得出，然后再利用配方法和公式法分解因式，即可判断⑥．
【详解】解：①，∴能在实数范围内因式分解；
②，∴能在实数范围内因式分解；
③，∴不能在实数范围内因式分解；
④
，
∴能在实数范围内因式分解；
⑤，∴能在实数范围内因式分解；
⑥
，
∴能在实数范围内因式分解；
综上所述，各式能在实数范围内因式分解的是：①②④⑤⑥．
故答案为：①②④⑤⑥
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
23．0
【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．
【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
24．（1），（2），（3）
【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；
（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【详解】解：；
；
．
．
【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键.
25．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用完全平方公式进行分解因式．
（2）含有公因式2，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
（3）含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式．
（4）含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（1）
（2）．
（3）原式
（4）原式=
【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
26．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析
【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】解：（1）
=(x-y+1)2；
（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；
（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
27．（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
28．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
29．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
30．（1）；（2）证明见解析；（3）当，时，多项式有最小值，最小值为5
【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，利用非负数的性质进行解答；
（3）用配方法将多项式转化，
然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式的值总为正数；
（3）
，
当，即，时，
原式取最小值5．
∴当，时，
多项式有最小值5．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题的关键是要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
31．（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【详解】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
32．（1）；（2）；（3）4．
【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）
当时，有最小值；
（3）
解得
则．