人教版数学八上期末专题强化训练一 因式分解中的分组分解法和十字相乘法（含答案详解）

这是一份人教版数学八上期末专题强化训练一 因式分解中的分组分解法和十字相乘法（含答案详解），共31页。

考点一：分组分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．
例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
考点二：十字相乘法
【方法探究】
对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．
所以
例如，分解因式：
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
题型一：分组分解法
1．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
2．（2022·全国·八年级专题练习）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
3．（2022·全国·八年级专题练习）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
题型二：十字相乘法
4．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
6．（2022·全国·八年级）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
专题强化
一、单选题
7．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
8．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）
A．1B．5C．D．
9．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )
A．0B．1C．2D．3
10．（2021·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形
11．（2020·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
12．（2022·全国·八年级单元测试）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
13．（2021·全国·八年级专题练习）已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
14．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2021·四川南充·八年级期末）已知x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），则（ ）
A．ab＝6B．ab＝﹣6C．a＋b＝6D．a＋b＝﹣6
16．（2021·全国·八年级专题练习）下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（ ）
A．2x-2B．2x+2C．4x+1D．4x+2
17．（2021·河南·郑州外国语中学八年级期中）若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1B．7C．11D．13
18．（2021·全国·八年级课时练习）下列不可利用分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
20．（2021·全国·八年级专题练习）若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（ ）
A．8B．4C．－4－D．－8
二、填空题
21．（2021·陕西西安·八年级阶段练习）分解因式：x2﹣y2+ax+ay＝_____．
22．（2021·全国·八年级课时练习）分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
23．（2021·全国·八年级课时练习）（1）( )( )( )( )( )；
（2）( )( )( )( )( )( )( )；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
24．（2022·全国·八年级课时练习）分解因式：________．
25．（2022·全国·八年级专题练习）分解因式：________．
26．（2022·四川凉山·八年级期末）已知，，，则代数式的值是________．
27．（2021·山东威海·八年级期末）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________．
28．（2021·全国·八年级专题练习）若二次三项式x2 +ax- 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积， 则符合条件的整数a的个数是________________．
三、解答题
29．（2022·全国·八年级单元测试）因式分解：
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
30．（2022·山东青岛·八年级期中）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
31．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
32．（2022·全国·八年级专题练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
33．（2022·山东青岛·八年级期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)因式分解；
(3)已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
34．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，细心观察这个公式发现，前两项符合平方差公式，分解因式后产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式；过程如下：
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)试用“分组分解法”分解因式：；
(2)三边满足，判断的形状．
(3)已知，求a+b的值．
35．（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）先阅读下面的村料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得．
这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
(1)因式分解：
(2)已知，，是的三边长，且满足，试判断三角形的形状．
(3)已知，，是的三边长，判断式子的值的正负．
36．（2022·河南·漯河市第二实验中学八年级期末）因式分解
(1)9x2-16y2
(2)a2-4b2+12bc-9c2
(3)ax4-ay4
(4)x2-2x-15
(5)x2-y2-4x+6y-5
37．（2022·四川巴中·八年级期末）把下列多项式分解因式
(1)2x（a-2）-y（2-a）
(2)4a2-12ab+9b2
(3) x2-2x-15
(4)-3x3+12x
38．（2021·福建·泉州科技中学八年级期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为．
利用上述阅读材料求解：
（1）若和是多项式的两个因式，试求，的值；
（2）在（1）的条件下，把多项式因式分解．
参考答案：
1．A
【分析】根据多项式乘以多项式可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据分组分解法，将其分成，根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可求解；
（2）根据拆项法，得到，再根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了因式分解，理解材料分组分解法以及拆项法进行因式分解是解题的关键．
3．(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
【详解】（1）分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2），
，
故答案为：，．
（3）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
4．C
【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出的值．
【详解】解：∵多项式分解因式后含有因式，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．
5．B
【分析】根据因式分解，进而即可求得的值
【详解】解：，
p，q的值分别为
故选：B
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
7．A
【分析】根据多项式乘以多项式可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案．
【详解】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为



故选：A
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．
9．A
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【详解】解：a2b+ab2-a-b
=（a2b-a）+（ab2-b）
=a（ab-1）+b（ab-1）
=（ab-1）（a+b）
将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
10．A
【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出．
【详解】解：，
，
，
∴或，
当时，围成一个等腰三角形；
当时，不能围成三角形；
故选：A．
【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键．
11．B
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整数，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
12．A
【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
13．D
【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质求解即可．
【详解】∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
14．A
【分析】根据因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法进行分解，即可判断．
【详解】解：A、-x2+3x=-x（x-3），故该选项符合题意；
B、9x2-y2=（3x+y）（3x-y），故该选项不符合题意；
C、-x2-2x-1=-（x+1）2，故该选项不符合题意；
D．x2-5x-6=（x-6）（x+1），故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15．B
【分析】先利用十字相乘法去掉括号，再根据等式的性质得a＋b＝1，ab＝﹣6．
【详解】解：∵x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），
∴x2＋x﹣6＝x2＋（a＋b）x＋ab，
∴a＋b＝1，ab＝﹣6；
故选：B．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．
16．A
【分析】将8x2-10x+2进行分解因式得出8x2-10x+2=（4x-1）（2x-2），进而得出答案即可．
【详解】解：8x2-10x+2=2（4x2-5x+1）
=2（4x-1）（x-1）
=（4x-1）（2x-2），
故多项式8x2-10x+2的因式为（4x-1）与（2x-2），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，正确将多项式8x2-10x+2分解因式是解题关键．
17．B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．
18．D
【分析】根据给出的公式将值代入即可得出答案．
【详解】解：A.可以分解，不符合题意；
B.可以分解，不符合题意；
C. 可以分解，不符合题意；
D.不能分解，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了分解因式，确定的值是解题的关键．
19．A
【分析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可．
【详解】解：由题意：
∵，
∴，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴，
∴，即：，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0时的情况是解题关键．
20．D
【分析】根据已知，将其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0变形为，利用非负数的性质，求出a和b，最后代入即可.
【详解】解：a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝
a-b=0 b+2=0
a+3b= 故选择D
【点睛】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b的值是关键.
21．（x+y）（x﹣y+a）
【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式（x+y）整理即可．
【详解】解：x2﹣y2+ax+ay，
＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y），
＝（x+y）（x﹣y+a）．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据多项式的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．
22．
【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；
（9）先把原式化为：，再利用完全平方公式与平方差公式分解即可.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）

故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，分组分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解题的关键.
23． 3 ②，③，④
【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
24．
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
25．
【分析】通过十字相乘法，即可得出结果．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了用十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法．
26．24
【分析】用提公因式法和十字相乘法把代数式进行因式分解后，把，，，整体代入即可求值．
【详解】∵，，，
∴
＝xy（x2－2xy－3y2）
＝xy（x－3y）（x＋y）
＝2×3×4
＝24
故答案为：24
【点睛】此题考查了代数式的求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
27．(x+2)(x-6)
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，然后代入分解即可．
【详解】解：∵=x2+x-12，
∴b=-12；
∵=x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案为：(x+2)(x-6)．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
28．6．
【分析】利用常数项分解为异号两数相乘的积，这两数的和就是a，求a出的不同的值，查出a个数即可
【详解】解：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），
显然a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，把常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和等于一次项系数是解题关键．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）直接提公因式分解，可得答案；
（2）直接提公因式分解，可得答案；
（3）根据平方差公式分解，可得答案；
（4）根据十字相乘法分解可得答案；
（5）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，可得答案；
（6）根据整式的乘法、合并同类项整理，再利用完全平方公式分解，可得答案；
（7）先提公因式，再根据平方差公式继续分解，可得答案；
（8）先提公因式，再根据十字相乘法分解可得答案；
（9）先利用平方差公式分解，再提公因式，可得答案；
（10）根据整式的乘法、合并同类项整理，再根据完全平方公式分解，可得答案．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
．
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底，掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（4）利用十字相乘法分解因式．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）、因式分解法是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先把转化为，利用提公因式法分解因式即可；
（2）首先利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（4）把看作整体，然后利用十字相乘法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握分解因式的方法．
32．(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项，一次项系数，然后进行分解计算即可．
【详解】（1）解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
33．(1)；
(2)；
(3)为等腰三角形．
【分析】（1）运用分组分解法直接作答即可；
（2）运用分组分解法直接作答即可；
（3）运用分组分解法判断出a=c，进而得到结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
34．(1)；
(2)△ABC是等腰三角形；
(3)a+b=3．
【分析】（1）利用分组分解法求解；
（2）先利用分组分解法分解，再根据边长进行判断；
（3）先利用分组分解法分解，再利用非负数的性质即可求解．
（1）
解：
；
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴a-b=0，
∴a=b．
∴△ABC是等腰三角形；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴b=2，a=1，
∴a+b=3．
【点睛】本题考查了利用分组分解法分式因式，结合三角形的分类及掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
35．(1)
(2)是等腰三角形
(3)
【分析】（1）如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．
（2）线把式子移项，再利用分组分解法因式分解，列出等式即可判断．
（3）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，即可得出．
（1）
；
（2）
解：是等腰三角形．理由如下：
，
，
，
，
，舍去，
，
ABC是等腰三角形．
（3）
．
证明：

是的三条边，
，，
．
【点睛】本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，平方差公式，等腰三角形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法．
36．(1)(3x+4y)(3x-4y)
(2)(a+2b-3c)(a-2b+3c)
(3)a(x+y)(x-y)(x2+y2)
(4)(x+3)(x-5)
(5)(x+y-5)(x-y+1)
【分析】(1)利用平方差公式分解；
(2)先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解；
(3)先提公因式法分解，再利用平方差公式分解；
(4)先将-15改成1-16，重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解；
(5)先将-5改成4-9，重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．
（1）
解：9x2-16y2=(3x)2-(4y)2= (3x+4y) (3x-4y)
（2）
解：a2-4b2+12bc-9c2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-(2b-3c)2= (a+2b-3c) (a-2b+3c)
（3）
解：ax4-ay4=a(x4-y4)=a(x2-y2)(x2+y2)=a(x+y) (x-y) (x2+y2)
（4）
解：x2-2x-15=x2-2x+1-16=(x-1)2-16=(x-1+4)(x-1-4)=(x+3)(x-5)
（5）
解：x2-y2-4x+6y-5=x2-y2-4x+6y+4-9
=x2-y2-4x+6y+4-9
=(x2-4x+4)-(y2-6y+9)
=(x-2)2-(y-3)2
=[(x-2)+(y-3)][(x-2)-(y-3)]
=(x+y-5)(x-y+1)
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
37．(1)（a-2）（2x+y）；
(2)（2a-3b）2；
(3)（x-5）（x+3）；
(4)-3x（x+2）（x-2）．
【分析】（1）利用提公因式法分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解即可；
（4）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
(1)
解：2x（a-2）-y（2-a）=（a-2）（2x+y）；
(2)
解：4a2-12ab+9b2=（2a-3b）2；
(3)
解：x2-2x-15=（x-5）（x+3）；
(4)
解：-3x3+12x
=-3x（x2-4）
=-3x（x+2）（x-2）．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
38．（1）和；（2）
【分析】（1）根据题意可得当或时，，即可得到，由此求解即可；
（2）根据（1）所求结果得到可化为：，由此分解因式即可．
【详解】解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
解得，
、的值分别为和．
（2）∵，，
可化为：，
．