浙教版七年级数学下册专题4.3因式分解-十字相乘法与分组分解法(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题4.3因式分解-十字相乘法与分组分解法(知识解读)(原卷版+解析)，共15页。
1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式．
2. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．
3.掌握因式分解分应用
【知识点梳理】
考点1：十字相乘法
1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的
一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与
a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ．
考点2：分组分解法
考点3：因式分解的应用
【典例分析】
【考点1:十字相乘法】
【典例1】（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
【变式1-1】（2023春•肃州区校级期中）分解因式：
（1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3．
【变式1-2】（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
【考点2: 分组分解法】
【典例2】（2023春•新田县期中）先阅读材料：
分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．
解：a2b﹣3a2+2b﹣6
＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）
＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）
＝（b﹣3）（a2+2）
以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．
【变式2-1】（2023秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．
【变式2-2】（2023春•覃塘区期中）因式分解：
m2+n2﹣2mn﹣1．
【变式2-3】（2023春•西湖区校级期中）因式分解
a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．
【考点3:因式分解应用】
【典例3】（2023秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣1D．1
【变式3-1】（2023秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 ．
【变式3-2】（2023秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 ．
【变式3-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．24B．18C．﹣24D．﹣18
【典例4】（2023秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．
（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝ ；
（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．
【变式4-1】（2023秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
【变式4-2】（2023春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【变式4-3】（2023秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
专题4.3 因式分解-十字相乘法与分组分解法（知识解读）
【学习目标】
1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式．
2. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．
3.掌握因式分解分应用
【知识点梳理】
考点1：十字相乘法
1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的
一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与
a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ．
考点2：分组分解法
考点3：因式分解的应用
【典例分析】
【考点1:十字相乘法】
【典例1】（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），
故答案为：（x﹣3）（x+8）；
（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，
∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，
∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7，
故答案为：±5，±7；
（3）x2﹣4x﹣21＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3．
【变式1-1】（2023春•肃州区校级期中）分解因式：
（1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣10x+16
＝（x﹣8）（x﹣2）；
（2）x2﹣2x﹣3
＝（x﹣3）（x+1）．
【变式1-2】（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【考点2: 分组分解法】
【典例2】（2023春•新田县期中）先阅读材料：
分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．
解：a2b﹣3a2+2b﹣6
＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）
＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）
＝（b﹣3）（a2+2）
以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．
【解答】解：x2+3x﹣y2+3y
＝x2﹣y2+（3x+3y）
＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）
＝（x+y）（x﹣y+3）．
【变式2-1】（2023秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．
【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．
x2﹣（﹣4y+4y2+1）
＝x2﹣（1﹣2y）2
＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．
【变式2-2】（2023春•覃塘区期中）因式分解：
m2+n2﹣2mn﹣1．
【解答】解：m2+n2﹣2mn﹣1
＝（m﹣n）2﹣1
＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．
【变式2-3】（2023春•西湖区校级期中）因式分解
a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．
【解答】解：a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx
＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）
＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2
＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．
【考点3:因式分解应用】
【典例3】（2023秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣1D．1
答案:A
【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：A．
【变式3-1】（2023秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 ．
答案:15
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．
故答案为：15．
【变式3-2】（2023秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 ．
答案:﹣15
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【变式3-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．24B．18C．﹣24D．﹣18
答案:D
【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，
∴a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b+ab2）﹣（a+b）
＝ab（a+b）﹣（a+b）
＝（ab﹣1）（a+b）
＝（7﹣1）×（﹣3）
＝﹣18，
故选：D．
【典例4】（2023秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．
（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝ ；
（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．
【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：
3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；
故答案为：（3m+2n）（m+2n）；
（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，
∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，
∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，
∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，
即m+n＝5，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，
（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．
【变式4-1】（2023秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，
所以49＝23+2ab+2ac+2bc，
所以ab+ac+bc＝13，
故答案为：13．
（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，
因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，
所以x＝2，y＝2，z＝5，
【变式4-2】（2023春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；
（2）依题意得，2m2+2n2＝80，
mn＝12，
∴m2+n2＝40，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，
∴m+n＝8，
∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）．
【变式4-3】（2023秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．
【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，
所以64＝14+2ab+2ac+2bc，
所以ab+ac+bc＝25，
故答案为：25．
（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，
因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，
所以x＝2，y＝2，z＝5，
所以x+y+z＝2+2+5＝9．