高中数学人教A版选修第二册《4.3.1等比数列的概念第2课时》教案

第四章 数列4.3.1等比数列的概念第2课时 一、教学目标1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.3.通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养. 二、教学重难点重点：运用等比数列解决简单的实际问题.难点：等比数列的综合运用 三、教学过程（一）创设情境回顾：1.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示.2.等比中项若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．此时，G2＝ab3.等比数列的通项公式an=a1qn−14.等差数列的性质(1)若数列{an}，{bn}是等差数列，则{an+bn}也是等差数列.若{an}是等差数列，c是常数，则{can}也是等差数列.(2)在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap.(3)在等差数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差数列.师生活动:教师引导学生复习回顾等比数列的概念、等差中项的定义和等比数列的通项公式以及等差数列的性质，并请同学作答.设计意图：通过简单的复习回顾，巩固前面所学知识，为本课时的学习作好铺垫和引导.（二）探究新知任务1：探索等比数列的性质.思考：（1）观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……请问16是哪两项的等比中项？并说明理由.答：∵162=8×32=4×64=2×128.∴16是8与32的等比中项；也是4与64的等比中项；是2与128的等比中项.等比数列 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 ,a8 ⋯a4 2=a3a5=a2a6=a1a7思考：（2）若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，那么am、an、as、at之间有怎样的关系？猜想：若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则aman=asat.证明： 因为，am=a1qm−1,an=a1qn−1，所以aman=a12qm+n−2，又因为，as=a1qs−1,at=a1qt−1，所以asat=a12qs+t−2，又m＋n＝s＋t，所以aman=asat.特别地，当m+n=2k，则aman=akak=ak2探究：你能类比等差数列性质，尝试归纳等比数列的其他性质吗？(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an∙bn}也是等比数列.若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{can}也是等比数列.(2)等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积.(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk+1.（三）应用举例例1用10 000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10−5）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a1+r，a1+r2…构成等比数列.解：（1）设这笔钱存 n 个月以后的本利和组成一个数列an，则an是等比数列，首项a1=1041+0.400%，公比q=1+0.400%，所以，a12=a1q11=1041+0.400%12≈10490.7所以，12个月后的利息为10 490.7−104≈491（元）.（2）设季度利率为 r ，这笔钱存 n 个季度以后的本利和组成一个数列bn，则bn也是一个等比数列，首项 b1=1041+r，公比为1+r，于是 b4=1041+r4.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为1041+r4−104元.解不等式1041+r4−104≥491，得r≥1.206%.所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 师生活动：请学生先独立思考第（1）问，再将思考的内容在小组内进行交流，教师适时点评.引导学生发现问题中具有等比关系的量，并构造一个等比数列来刻画这个量.第（2）问，学生认真阅读题目后，教师引导学生类比第（1）问建立另一个等比数列模型，并将问题最终转化为利用不等式1041+r4−104≥491，求解参数范围的问题.设计意图：培养学生数学阅读理解能力和数学表达能力，提升学生的数学运算和数学建模素养.促进学生形成数据处理工具的使用意识，发展数据分析素养.总结：(1)复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r),a(1+r)2…构成等比数列.(2)一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解.例2 已知数列an的首项a1=3.（1）若an为等差数列，公差 d=2，证明数列3an为等比数列；（2）若an为等比数列，公比q=19，证明数列log3an为等差数列.分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明：（1）由a1=3，d=2，得an的通项公式为an=2n+1.设bn=3an=32n+1，则 ： bn+1bn=32n+1+132n+1=9 ，又 b1=33=27,所以，3an是以 27为首项，9为公比的等比数列.（2）由a1=3, q=19,得an=3×(19)n−1=33−2n两边取以3为底的对数，得log3an=log333−2n=3−2n.所以 log3an+1−log3an=3−2n+1−3−2n=−2.又log3a1= log33=1，所以，log3an是首项为1，公差为−2的等差数列.师生活动：学生独立完成解题过程，并进行展示交流，教师适时评价.引导学生从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.可让学生总结用符号化定义证明等差数列、等比数列的基本路径，即利用所给条件证明第n+1项与第n项的差（比）为定值.比如第（1）问中，只需证明数列{3an}的第n+1项3an+1与第n项3an的比为定值即可.设计意图：进一步学习如何运用定义证明或判断一个数列为等差或等比数列，渗透特殊与一般的数学思想.思考：已知b>0且b≠1.如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？已知b>0且b≠1.如果数列{an}是等差数列，设其公差为d，则ban+1ban=ba1+ndba1+n−1d=bd所以数列{ban}是以ba1为首项，bd为公比的等比数列.数列{an}是各项均为正的等比数列，设其公比为q，则logban+1−logban=logban+1an=logbq，所以数列{logban}是以logba1为首项，以logbq为公差的等差数列.师生活动：学生独立完成后进行展示，学生互评，教师强调符号表达的规范.设计意图：通过思考，将对例2中等差数列与等比数列间联系的一种特殊情形的思考，推广到对等差数列与等比数列间联系的一般情形的思考，着重渗透特殊与一般的数学思想，发展逻辑推理素养.总结：(1)若{an}是等差数列，则数列{ban}是等比数列；(2)若数列{an}是各项均为正的等比数列，则数列{logban}是等差数列.例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列an是等比数列，数列bn是等差数列,由于数列anbn既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，bn由题意，知an=1050×1.05n−1，bn=1−90%+0.4%n−1=0.104−0.004n, 其中n=1,2,…,24,则从今年1月起，各月不合格产品的数量是an bn=1050×1.05n−1 ×（ 0.104−0.004n）由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）表4.3-1观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，anbn递减，且a13b13