2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

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一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，，则，故选B
2．函数的零点是（ ）
A．B．1，2C．D．
【答案】D
【解析】令，得，函数的零点是.故选D
3．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知向量，则.故选：D.
4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
6．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，.故选：C
7．的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】.故选：D.
8．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】不等式化为，解得，故选B
9．若直线不垂直于平面，那么平面内（ ）
A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对
【答案】C
【解析】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误.故选：C
10．若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以故选：A
11．设a，b是实数， 则""是""的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立，
必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立，
故是的既不充分也不必要条件.故选：D
12．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，
可能的结果为{(甲乙) (甲丙) (乙丙) (乙甲) (丙甲) (丙乙)}共有6种不同的方法，而甲参加上午活动，则甲被选中，还需从乙、丙二人中任选1人参加下午的活动，共有2种不同的方法，
则甲参加上午活动的概率为，故选：C
13．已知函数，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】由已知得：当时，，解得：，或（舍），
当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C.
14．在中，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】由，
所以.故选：A
15．下列函数中，在区间上存在最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A.
16．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，即，解得．故选：C.
17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：由题意得，，，

，故选：D.
18．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25B．23，23
C．23，24D．24，24
【答案】C
【解析】苗高由小到大排列为：，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24，故选C
19．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）
A．最多有1651名学生B．最多有1649名学生
C．最少有618名学生D．最少有617名学生
【答案】D
【解析】,，即研学人数最多的地点最少有617名学生，
，即研学人数最多的地点最多有名学生.故选：D
20．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，故A错误；
由可得，故B错误；
由可得，故C错误；
，由可得，
所以，故D正确；故选：D
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
21．已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】
【解析】设，因为经过点，
所以，解得，所以，
22．若实数，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，，
所以，所以，所以.
23．已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x的值可以是 .（写出一个正确结果即可）
【答案】（或）.
【解析】由，则，即，
即，即有，又，
则，则.
24．已知的，给出下列三个结论：
①的定义域为；
②；
③，使曲线与恰有两个交点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确；
对于②：，②正确；
对于③：令，变形得，
作出函数的图象如下图：
根据图象可得在上单调递增，
故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误.
三、解答题（本题共4小题，共28分）
25．已知（，且），且．
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值．
【解】（1），即，则，
由题意得，∴，的定义域为：
（2），
令，则，，
的对称轴：，
∴在上单调递增，在上单调递减；
∵，∴在单调递减，
由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，
∴.
26．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．”
该同学解答过程如下：
下表列出了某些数学知识：
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．
【解】该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有：
①弧度制的概念；
②三角函数的周期性；
③函数的图象；
④正弦函数在区间上的性质；
⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，平面，求证：平面.
【解】（1）证明：连接，
∵四边形是平行四边形，且是的中点，
∴是的中点，
∵E为PC的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
28．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）
(2)是否存在数表由生成？说明理由；
【解】（1）数表是由生成；
检验性质①：
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
任意中有三个，一个3；
检验性质②：
当时，，恰有3个数相等.
（2）不存在数表由生成,理由如下:
若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3，
则或-1，总有与的奇偶性相反，
类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；
因为中恰有2个奇数，2个偶数，
所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，
此时中至多有2个数相等，不满足性质②；
综上，不存在数表由生成；
（3）的所有可能的值为3，7，11.
一方面，当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
另一方面，若存在数表A由生成，
首先证明：除以4余3；
证明：对任意的，令，
则，
分三种情况：（i）若，且，则；
（ii）若，且，则；
（iii）若，且，则；
均有与除以4的余数相同.
特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同.
注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.
其次证明：；
解：（1）；
因为 ，且，
所以 ．
（2） 画出函数在上的图象，
由图象可知，当时，函数的最小值．
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化
函数的图象
三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数在区间 上的性质
同角三角函数的基本关系式
正切函数在区间上的性质
两角差的余弦公式
函数的实际意义
两角差的正弦、正切公式
参数A，ω，φ对函数图象变化的影响
两角和的正弦、余弦、正切公式
半角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
积化和差、和差化积公式