2024-2025学年北京市丰台区高三上册1月期末数学模拟检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年北京市丰台区高三上册1月期末数学模拟检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知复数，直线截圆所得的弦长等于，“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为，所以.
故选：D.
2．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C.D．
【详解】因为，所以．
故选：C.
3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】双曲线的离心率为，
故，则，故渐近线方程为，
故选：A
4．直线截圆所得的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【详解】由圆的方程知：圆心为，半径，
所以圆心为到直线距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
故选：C
5．展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-6B．6C．7D．9
【详解】解：因为展开式中所有二项式系数之和为8，
即，所以，
展开式为，
令，则，
所以该展开式中的常数项为.
故选：B
6．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【详解】由得，
所以即或，
所以充分性不成立；
由知，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，所以必要性成立.
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
7．在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【详解】方法一：
，由正弦定理可得，
，，．
又，．
．
，则．
方法二：
因为，由射影定理可得，
又，．
．
，则．
故选：A
8．生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
【详解】由题意可得，，
所以，即，
所以，
当，时，，
即，所以，
由给定数据.
故选：D
9．设，若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【详解】由题意，函数，若是的最小值，
可得，对称轴为，若是的最小值，
则，即得，可得，
当时，可得，当且仅当时等号成立，
要使得函数的最小值为，则，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故选：A.
10．数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（ ）
A.方程，表示的曲线在第一和第三象限；
B.曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1；
C.曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D.曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
【详解】对于A，因为，所以与异号，所以表示的曲线在第二和第四象限，所以A错误，
对于B，设曲线上一点，则其到原点的距离为，
考虑到该图形对称性，故研究第一象限的点，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1，所以B正确，
对于C，以为圆心，1为半径的圆的面积为，由B知曲线在圆内部，
所以曲线构成的四叶玫瑰线面积小于，所以C错误，
对于D，由B可知曲线在圆内部，而圆内在第一象限无整点，
所以曲线在第一象限没有经过整点，
由曲线的对称性可知，曲线在其它象限也没有经过整点，
所以由图可知曲线只经过整点，所以D错误，
故选：B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【详解】因为点在抛物线上，所以.
所以，抛物线：，焦点：
所以到焦点的距离.
故4
12．已知数列是等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是 ．
【详解】由题意有：，而，显然，，则，
所以，故，可得．
故1.
13．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为矩形，，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则＝ ．
【详解】因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且，
则圆锥的水面圆的直径为，
由，
所以V1＝V2，即.
故
14．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 .
【详解】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，
，
，
圆的方程为，
设点的坐标为，则，
，故的最大值为，
，，
，
，，
，
，
，
故的最大值为3，
故，3
15．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号有
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
【详解】①数列满足，则，
满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，
不满足等比差数列的定义，故②错误；
③设等比数列的公比为，则，
满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，
则，
故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故①③④
解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点，
所以．
过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，则，
由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，此时k的值.（其中k=2.3.4）（直接写出答案，结论不需要证明）
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
18．已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【详解】（1）因为，
所以，
显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
解得，
所以，又，所以，解得，
所以；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，
又的最大值为，所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又x∈0,π，所以在0,π上的单调递增区间有和.
19．已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极小值点，且．
【详解】（1）函数定义域为，
由题意可知，，联立解得．
（2）由（1）可知，则，
令，则，
所以函数在区间0,+∞内单调递增，又，
所以存在唯一实数使得gx0=0，即①，
当x∈0,x0时，gx0，即单调递增，所以存在唯一的极小值点，
由①知，，所以．
一方面由知，；
另一方面，由于是的唯一的极小值点，且，所以．
综上所述，，证毕．
20．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短轴长为，离心率为分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)求面积的最大值.
【详解】（1）因为，又
解得：
故椭圆的标准方程为
（2）证明：
方法一：
当轴时，不可能垂直，
故可设直线方程为
由，得，
设，则，
所以，
又因为，所以
即，即：，
所以
代入可得，
整理，解得（舍）或，
所以直线的方程为，令，得，
所以直线过定点，
方法二：
显然均不可能与坐标轴垂直，故可设
由，得
设
所以：，
因为互相垂直，同理得
所以直线的斜率为：，
直线的方程为：，
令得，即直线过定点.
（3）方法一：
由（2）知：
，
所以面积
令，所以代入可得：
此时，所以面积的最大值是
方法二：
由（2）知，所以，
因为互相垂直，同理得，
所以面积
令，
此时，解得或，
所以面积的最大值是.
21．已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以数列满足要求，
所以数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）.
（2）由题意可知，，所以，
联立，所以，即，
联立，所以，即，
联立，所以，即，
由上可知，， 当时，取的前项为，经验证可知满足条件，
综上所述，.
（3）设数列的公比为，由题意可知，对，当时，恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
当时，解得，当时，解得，
当时，则有，
所以；
设，所以，
令，均在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，所以；
令，所以，
因为，所以，
所以，所以在上单调递减，所以；
所以对恒成立，即对恒成立，
设，所以，
当时，显然单调递减，所以，所以在上单调递减，
又因为，
所以使得，所以的最大值为.