四川省新高考二卷地区2025届高三上学期第一次适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省新高考二卷地区2025届高三上学期第一次适应性考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则等于( )
A.9B.3C.D.
3．方程的解集是( )
A.B.
C.D.
4．已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个不共线.若,则直线一定经过三角形的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
5．已知椭圆过点,其右顶点A,上顶点B.那么以下说法正确的是( )
A.设c是半焦距O到的其中一个焦点的距离,那么必然有
B.O到直线的距离不是定值
C.和没有交点
D.三角形面积的取值范围是
6．设复数,.那么如下说法中错误的是( )
A.B.w在第二象限
C.若,那么D.
7．设抛物线（）的焦点为,点（）是C上一点.已知以N为圆心的圆与x轴相切,与线段相交于点A,,则C的准线方程为( )
A.B.C.D.
8．数列是密码设置的常用手段,几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列0,2,4,6,8,11,14,17,20,23,27,31,35,39,43…其中第1至5项构成公差为2的等差数列,第5至10项构成公差为3的等差数列,第10至15项构成公差为4的等差数列,依此类推.求满足如下条件的最小整数,且该数列的第N项为2的整数幂减1,那么该款软件的激活码是( )
A.87B.94C.101D.108
二、多项选择题
9．中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论中正确的是( )
A.
B.,,不能构成三角形
C.若,则为锐角三角形
D.若a,b,c均为有理数,则为有理数
10．已知曲线C上的点满足方程,则下列结论中正确的是( )
A.当时,曲线C的长度为
B.当时,的最大值为1,最小值为
C.曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为
D.若平行于x轴的直线与曲线C交于A,B,C三个不同的点,其横坐标分别为,,,则的取值范围是
11．在三棱锥中,,,且,则( )
A.当为等边三角形时,,
B.当,时,平面平面
C.的周长等于的周长
D.三棱锥体积最大为
三、填空题
12．二项式中展开式中项的系数为________
13．四面体体积为6,,,,则异面直线与的夹角为________
14．从1,2,…,2024中任取两数,（可以相同）,则个位为8的概率为________
四、解答题
15．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线,本年度第一季度统计数据如下表
（1）根据上表数据,从下列三个函数模型中:①,②,③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x（辆）与创造的收益y（元）之间的关系,并写出这个函数关系式;
（2）利用上述你选取的函数关系式计算,若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上,那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车?
16．已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）若数列满足,,,求证:.
17．如图所示,正方形所在平面与梯形所在平面垂直,,,,.
（1）证明:平面;
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E,使得二面角的余弦值为,若存在求出的值,若不存在请说明理由.
18．定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆,则称该椭圆为“完美曲线”.已知（）为“完美曲线”,且和,均相切.
（1）求的表达式和离心率
（2）已知动点P在的第一象限上运动,和相切,和交于C,和交于D.设右焦点为,证明是定值,并求其正切值.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,其中的奇数为,故选.
2．答案：D
解析：依题意,等差数列的公差,
由于,,成等比数列,
所以,,
解得,所以.
故选:D
3．答案：C
解析：原方程可化为,即,,.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为,所以,
所以,即直线一定经过三角形的边上的高,即直线一定经过三角形的垂心.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为椭圆过点,
所以,不妨设,,那么,,
A注意到当的时候,但是,从而A错误
B直线是,计算,B错误.
C,从而有,同理.
显然曲线在直线所围成的矩形内,
椭圆在直线,所围成的矩形内,
由,显然椭圆和没有交点.C正确·
D因为,所以,从而,D错误
故选:C
6．答案：A
解析：A,注意到
令且,则,
所以在上递增,故,则,故得证,从而A错误
B,注意到,,
设,,,
则,
,,从而在第二象限.B正确.
C,代入就发现,从而C正确
D,化简就是,而后者是,从而两个都是有理数,差也是有理数.从而D正确.
故选:A
7．答案：B
解析：
8．答案：B
解析：
9．答案：ACD
解析：对于A,由于,,,平方可得,,,相加化简可得,故A正确,
对于B,取,则,,能构成三角形,B错误,
对于C,由可知,,故C为最大的内角,则,
故C为锐角,进而可得为锐角三角形,C正确,
对于D,若a,b,c均为有理数,则,,,2ab均为有理数,
则为有理数,不妨设,延长到D,使得,
过C作,故,
由于,
故为有理数,所以,,均为有理数,
因此为有理数,
故选:ACD
10．答案：ACD
解析：对于方程,
①当,时,方程变为,即,表示半圆弧;
②当,时,方程变为,即,表示射线;
③当,时,方程变为,该圆不在,范围内,故舍去;
④当,时,方程变为,即,表示射线.
综上可知,曲线C由三段构成:射线,半圆弧和射线.
对于选项A,当时,曲线C由三段构成:线段,半圆弧和线段.其长度为,故A正确;
对于选项B,令,其表示曲线C上的动点与定点连线的斜率,由图可知,,但是其最小值是过点且与半圆弧相切的切线斜率,显然,,故B错误;
对于选项C,由图可知,曲线C与x轴、y轴围成的封闭图形为两个相同的弓形,其面积和为,故C正确;
对于选项D,设平行于x轴的直线为,要使与曲线C有三个交点,则,不妨设与半圆弧的交点为A,B,显然,A,B两点横坐标之和,与射线的交点为C,则点C的横坐标,所以,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：对于选项A:分别取AB,BC,CD,AD,BD的中点E,F,H,G,M,连接EF.FH,GH.EG,EM,FM,HM,GM,EH,GF,
可知:,,且,,
因为,可知为矩形,可得,
若为等边三角形,则,
因为,则,
又因为E,M,H为对应棱的中点,则,,,,
可得,即,所以,
同理可证:,故A正确;
对于选项B:若,,,可得,
同理可得,
且,则,可知与不相互垂直,
反证:假设平面平面,则存在直线平面,使得平面,
由,平面,可得,,
因为l,平面,且,,可知,所以,
这与与不相互垂直相矛盾,所以假设不成立,故B错误;
如图,以的中点M建立空间直角坐标系,则,,
若,设,则,
整理得,
即点到定点的距离为,
所以点A,C均在以点为球心,半径为的球面上（不与共线）,
对于选项C:因为,则A,C在与直径垂直的圆面上,
因为,且,,,
可知,且,则,
即,所以的周长等于的周长,故C正确;
对于选项D:取的中点N,连接,,,
则,
可得,
所以三棱锥体积
,
当且仅当时,等号成立,
所以三棱锥体积最大为,故D正确;
故选:ACD.
12．答案：
解析：二项式的展开式的通项公式为,
令,所以,
所以二项式中展开式中x项的系数为.
故答案为:.
13．答案：或
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）选取②,
（2）且
解析：（1）选取②,
由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,
而函数及均为单调函数,故不符合题意,
所以选取②,
将,,三点分别代入函数解析式,
可得二次函数对称轴为,故可将函数解析式设为,
即得到,解出,
,
,,;
（2）设在一周内大约应生产x辆小型汽车,根据题意,可得,
即,即,
因为,
所以方程有两个实数根,,
由二次函数的图象可知不等式的解为.
因为只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时,
这家工厂能够获得6020元以上的收益.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由知,若,则,若,则.
又,所以,.
由,可得即（常数）,
故是首项为2,公差为1的等差数列,所以.
故.
（2）由得,①
由得,②
①②可得.
当时,,则.
所以
,
所以,
当时,也满足上式,所以.
由上可知,,,
所以
,
即.
17．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）正方形中,,
平面平面,平面平面,平面,
平面,
又,平面,,,
又,,,
又,,,
又,,
又,,平面,平面.
（2）假设存在点E,满足题意,
由（1）知,平面,,
故以B为坐标原点,BA,BM,BC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
设点,,,
,,,,
设平面的法向量为,,
令,,,,
由（1）知平面的法向量为,
,即,
即,即,解得或（舍去）,
所以存在一点E,使得,即.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）焦点和长轴顶点共线,它们不会共圆,从而焦点和短轴顶点共圆、则,c为半焦距,,因此的高心率为,椭圆的方程为,由消去x得,由和相切,得,解得.此时,由对称性知,和相切,所以的表达式为.
（2）设,从而斜率k必然存在且非0,令,
设切线
代入得到,
由P在上,得,从而,
由直线与楉圆相切,得上述方程有相等实根,则,即,
从而,即,
由,解得,记为
同理,记为,
即,,,
,,,
由,得,直线,的斜率分别为,,
,
.
,
当时,,和重合,与已知矛盾,又,
因此,所以是定值,其正切值为.
月份
1月
2月
3月
小型汽车数量x（辆）
30
60
80
创造的收益y（元）
4800
6000
4800