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沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点05梯形(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点05梯形(原卷版+解析)，共75页。试卷主要包含了梯形，等腰梯形，三角形、梯形的中位线，梯形常用辅助线的添法等内容，欢迎下载使用。
考点一：梯形
考点二：直角梯形
考点三：等腰梯形的性质
考点四：等腰梯形的判定
考点五：三角形中位线定理
考点六：梯形中位线定理
考点考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位线
4.梯形常用辅助线的添法
梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.
考点精讲
一．梯形（共5小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，当∠A＝60°时，对角线BD＝ ．
2．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点E．点F在DA延长线上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求证：四边形AFBC是菱形．
3．（2022春•浦东新区校级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出 个．
4．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于点O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．则BD＝ ．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 ．
二．直角梯形（共4小题）
6．（2022春•浦东新区校级期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 ．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．
8．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周长．
9．（2022春•浦东新区校级期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ ．
三．等腰梯形的性质（共6小题）
10．（2022春•闵行区校级月考）等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 ．
11．（2022春•长宁区校级期末）若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 ．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 cm．
14．（2022春•静安区期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高为 ．
15．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
四．等腰梯形的判定（共4小题）
16．（2022春•长宁区校级期末）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
17．（2022春•宝山区校级月考）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形
18．（2022春•杨浦区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一点，分别联结EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，点F、G分别是EB、EC与AD的交点．
求证：四边形FBCG是等腰梯形．
19．（2022春•奉贤区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求证：四边形AECB是等腰梯形；
（2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
五．三角形中位线定理（共6小题）
20．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
21．（2022春•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 ．
22．（2022春•长宁区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
23．（2022春•虹口区校级月考）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 ．
24．（2022春•奉贤区校级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
25．（2022春•奉贤区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
六．梯形中位线定理（共7小题）
26．（2022春•浦东新区校级期中）已知梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，那么梯形的中位线长为 ．
27．（2022春•长宁区校级期末）已知梯形的上底长为6cm，中位线长为10cm，则它的下底为 cm．
28．（2022春•杨浦区校级期末）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 cm．
29．（2021春•静安区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 ．
30．（2021春•虹口区校级期末）如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝ ．
31．（2020春•浦东新区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
32．（2020春•徐汇区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
3．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
6．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
7．（2022春·上海·八年级校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
二、填空题
8．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线______．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为___，面积为___．
12．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．
13．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为___________cm．
14．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
16．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
三、解答题
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，四边形中，AD∥BC，，，是上方一点，分别联结、、、，已知，点、分别是、与的交点．求证：四边形是等腰梯形．
18．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
19．（2022春·上海·八年级期末）已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形．
20．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG．
(1)求证：四边形AEGF是平行四边形；
(2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
21．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)；
(2)．
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.
(1)求证：；
(2)如果，求证：.
23．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，点、是边的三等分点，、的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，求证：四边形是菱形．
24．（2022春·上海·八年级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．
核心考点05 梯形
目录
考点一：梯形
考点二：直角梯形
考点三：等腰梯形的性质
考点四：等腰梯形的判定
考点五：三角形中位线定理
考点六：梯形中位线定理
考点考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位线
4.梯形常用辅助线的添法
梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.
考点精讲
一．梯形（共5小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，当∠A＝60°时，对角线BD＝ 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形的性质求出∠ADE，进而求出AE，根据勾股定理求出DE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
在△ADE中，∠A＝60°，
则∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD＝×6＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝9﹣3＝6，DE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点E．点F在DA延长线上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求证：四边形AFBC是菱形．
【分析】根据梯形的性质和SSS可证△ABC≌△DCB，再根据全等三角形的性质和平行四边形的判定与性质，根据菱形的判定即可求解．
【解答】证明：在梯形ABCD中，∵AD//BC，AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵BD＝BC，
∴AC＝BC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠CAB＝∠BDC，
∵∠FBA＝∠BDC，
∴∠CAB＝∠FBA，
∴FB//AC，
∵FA//BC，FB//AC，
∴四边形AFBC是平行四边形，
又∵AC＝BC，
∴四边形AFBC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
3．（2022春•浦东新区校级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出 6 个．
【分析】运用数字组合的规律结合梯形的定义可解决此问题．
【解答】解：由4做梯形的一个底，有以下三种情况：
5做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，5、7做腰；7做另一个底，5、6做腰；
由5做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，4、7做腰；7做另一个底，4、6做腰；
由6做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、7做腰；7做另一个底，4、5做腰；
由7做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、7做腰；6做另一个底，4、5做腰；
以上情况，除去形状相同的，能画出的图形数量是：3×4÷2＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查梯形的定义，找规律，分类讨论是解题的关键．
4．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于点O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．则BD＝ ．
【分析】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，证得四边形ACED是平行四边形，△BDE是直角三角形，由平行四边形的性质求出CE，DE，进而求出BC，根据勾股定理即可求出BD
【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝2，DE＝AC＝5，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
在Rt△BDE中，
BD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，把问题转化为平行四边形和直角三角形问题是解决问题的关键．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 20或8或16 ．
【分析】分三种情况进行讨论，先根据勾股定理和线段的和差关系求出下底，再根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，
∵AH是高，AH＝4，
∴DE＝4，
∵CD＝5，
∴CE＝＝3，
∵AB＝，
∴BH＝＝1，
∵AD∥BC，
∴HE＝AD＝3，
①梯形ABCD的面积＝（（3+1+3+3）×4÷2＝20；
②梯形ABCD的面积＝（（3+1+3﹣3）×4÷2＝8；
③梯形ABCD的面积＝（（3+3+3﹣1）×4÷2＝16．
故梯形ABCD的面积是20或8或16．
故答案为：20或8或16．
【点评】本题考查了梯形，关键是求出梯形的下底，注意分类思想的应用．
二．直角梯形（共4小题）
6．（2022春•浦东新区校级期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 8或24 ．
【分析】分两种情况画图：①过点C作CE⊥AB于E，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得CD的长；②过点C作BE⊥CD于E，再根据勾股定理求出CE的长，进而可得CD的长．
【解答】解：①如图，过点C作CE⊥AB于E，
得四边形DAEC为矩形，
∴CE＝AD＝15，CD＝AE，
在Rt△ABE中，BC＝17，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8，
∴CD＝8；
②如图，过点C作BE⊥CD于E，
得四边形ADEB为矩形，
∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16，
在Rt△CBE中，BC＝17，根据勾股定理，得
CE＝＝＝8，
∴CD＝DE+CE＝16+8＝24，
综上所述：CD的长为8或24．
故答案为：8或24．
【点评】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想画图解答．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】证明△ADE≌△CDE（SSS），推出∠ADE＝∠CDE，由∠ADC＝90°，推出∠ADB＝∠CDB＝45°，由AD∥CD，推出∠ADB＝∠DBC＝45°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，推出CD＝CB，再证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．
【解答】证明：在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵AD∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝CB，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝DC，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查直角梯形，全等三角形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周长．
【分析】先作DH⊥BC于点H，得四边形ABHD是矩形，则BH＝AD＝2，CH＝8，再由勾股定理求出DH，即求出AB，从而求出梯形ABCD的周长．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，
根据题意，得四边形ABHD是矩形，BH＝AD＝2，
∵BC＝10，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣2＝8，
∵CD＝10，
∴DH＝＝6，
∴AB＝DH＝6，
∴梯形ABCD的周长为：AD+AB+BC+CD＝2+6+10+10＝28．
答：梯形ABCD的周长为28．
【点评】此题考查的知识点是直角梯形、勾股定理及矩形的判定与性质，关键是先作辅助线得矩形，再用勾股定理求AB．
9．（2022春•浦东新区校级期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ 60°或120° ．
【分析】可分两种情况：当∠C为锐角时，当∠C为钝角时，过D（C）作垂线，结合矩形的判定与性质，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度数，进而可求解．
【解答】解：当∠C为锐角时，如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝，
∵CD＝3，
∴CF＝，
∴CD＝2CF，
∴∠CDF＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°；
当∠C为钝角时，如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°，
∵CD＝3，
∴DF＝，
∴∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝90°+30°＝120°．
综上，∠BCD＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
【点评】本题主要考查直角梯形，矩形的判定与性质，含30° 角的直角三角形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
三．等腰梯形的性质（共6小题）
10．（2022春•闵行区校级月考）等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 64 ．
【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到AD＝CE，AC＝DE，S△DCE＝S△DAB，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，
则四边形ACED为平行四边形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∴BE＝BC+CE＝BC+AD＝16，S△DCE＝S△DAB，
∴S梯形ABCD＝S△DBE，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE＝BE＝8，
∴S△DBE＝×8×8＝64，
∴S梯形ABCD＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质、三角形的面积计算，正确作出辅助线、根据等腰梯形的性质得到AC＝BD是解题的关键．
11．（2022春•长宁区校级期末）若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 45° ．
【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到AC＝DE，进而得到DE＝DB，根据的原直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴DE＝DB，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC＝45°，即一条对角线与底边的夹角是45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，熟记等腰梯形的对角线相等是解题的关键．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据已知利用等腰梯形的性质对各个结论进行分析从而得出最后的答案．
【解答】解：根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．
①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此结论成立；
②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此结论成立．
③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．
④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质．根据等腰梯形的性质得出的角和边相等是解题的基础．
13．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 （11﹣5） cm．
【分析】首先过点A作AE∥CD交BC于点E，即可得四边形AECD是平行四边形；根据平行四边形的对边相等，可得AD＝CE，AE＝CD，又由∠B＝45°，易得△ABE是等腰直角三角形，即可求得BE的长，即可求出AD的长．
【解答】解：过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝AE＝5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝5cm，
∵BC＝BE+CE＝BE+AD＝11cm，
∴AD＝BC﹣BE＝（11﹣5）cm．
∴这个梯形的上底为（11﹣5）cm，
故答案为：（11﹣5）．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质以及等腰直角三角形性质．解此题的关键是要注意平移梯形的腰，构造三角形与平行四边形．
14．（2022春•静安区期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高为 6 ．
【分析】过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．由已知可证△BDF是等腰直角三角形，可得BF＝AF+AB＝12，继而求出DE的长．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．
∵AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，
又AC⊥BD，且AC＝BD，
∴BD⊥DF，BD＝DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF+AB＝12，
∴DE＝BF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是平移一条对角线，两条对角线与上、下底的和构成三角形，再根据梯形的条件解这个三角形求高或者求梯形的面积．
15．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
【分析】本题要靠辅助线的帮助．首先求出△BDE是等腰直角三角形，推出DF与BE的关系．
【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，过D作DF⊥BE于F．
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE＝AC，CE＝AD＝3，
在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，
∴BD＝AC，
∴DE＝BD，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥DB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DF＝BE＝（BC+CE）＝×（7+3）＝5，即梯形的高为5．
【点评】此题是一个综合题，考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，关键是得到△BDE是等腰直角三角形．
四．等腰梯形的判定（共4小题）
16．（2022春•长宁区校级期末）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
【分析】根据平行四边形的定义得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理得出结论．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形，
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定，熟记菱形的对角线相等是解题的关键．
17．（2022春•宝山区校级月考）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形
【分析】先画出图形，再根据平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B．如图，
∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C．如图，
∵四边形FGH是平行四边形，
∴∠EHG＝∠EFG，
∵FH分别平分∠EFG和∠EHG，
∴∠EHF＝EHG，∠EFH＝EFG，
∴∠EHF＝∠EFH，
∴EH＝EF，
∴平行四边形EFGH是菱形，故本选项不符合题意；
D．如图，
当底角∠A＝∠B时，梯形ABCD不是等腰梯形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定，能熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定是解此题的关键．
18．（2022春•杨浦区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一点，分别联结EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，点F、G分别是EB、EC与AD的交点．
求证：四边形FBCG是等腰梯形．
【分析】证明△ABE≌△CDE（SAS），可得EB＝EC，然后根据平行线的性质可得∠EFG＝∠EGF，所以EF＝EG，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAB＝∠BAD+∠EAD，∠EDC＝∠CDA+∠EDA，
∴∠EAB＝∠EDC，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，
∴FB＝GC，
∵FG∥BC，
∴四边形FBCG是等腰梯形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
19．（2022春•奉贤区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求证：四边形AECB是等腰梯形；
（2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）由AD＝AC，证得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行线的判定推出AB∥DE，根据三角形的判定证得△ADE≌△CAB，即可证得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可证得结论；
（2）通过全等三角形的性质得到AF＝CE，推出四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠ACD＝BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE＝BC，
∴四边形AECB是等腰梯形；
（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵BC＝CF，
∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠AEC，
在△AEC和△CFA中，，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴▱AECF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
五．三角形中位线定理（共6小题）
20．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN＝AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM＝AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN＝90°，根据BN2＝BM2+MN2即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN＝AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM＝AC，
∵AC＝AD，
∴MN＝BM．
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2+MN2，
由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，
∴BN＝
【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 11 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据线段中点的概念分别求出DB、EC，计算即可．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，AB＝AC＝5，
∴DE是△ABC的中位线，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5，
∴DE＝BC，
∵BC＝4，
∴DE＝2，
∴四边形DBCE的周长＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
22．（2022春•长宁区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
【分析】根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长，
【解答】解：根据中位线的性质易知，A15B15＝A13B13×A11B11…×A1B1＝××…×AC；
B15C15＝B13C13×A11B11×…＝×B1C1＝××…×BD，
∴四边形A15B15C15D15的周长是2×（a+b）＝．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
23．（2022春•虹口区校级月考）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 6 ．
【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，证明四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设四边形ABCD的“中对线”交于点O，连接EF、FG、GH、HE，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6，
同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，
∴四边形EFGH为菱形，∠EFG＝60°，
∴∠EFO＝30°，
∴OE＝EF＝3，
在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，
∴FH＝6，即该四边形较长的“中对线”的长度为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理和菱形的判定定理证明四边形EFGH为菱形是解题的关键．
24．（2022春•奉贤区校级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
25．（2022春•奉贤区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFE，进而可得：AH＝AF，
【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，
∴EG是△BDC的中位线，
∴EG∥BD，
∴∠CGE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，
∴EG＝BD，FG＝AC，
∵BD＝AC，
∴GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE＝∠H，
∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，
∴∠H＝∠AFE，
∴AH＝AF．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
六．梯形中位线定理（共7小题）
26．（2022春•浦东新区校级期中）已知梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，那么梯形的中位线长为 5厘米 ．
【分析】根据梯形面积求出（AD+BC）＝5厘米，根据梯形的中位线旋转得出EF＝（AD+BC），求出即可．
【解答】解：
∵梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，
∴（AD+BC）×4＝20，
∴（AD+BC）＝5厘米，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝（AD+BC）＝5厘米，
故答案为：5厘米
【点评】本题考查了梯形中位线性质的应用，关键是求出（AD+BC）的值和得出EF＝（AD+BC）．
27．（2022春•长宁区校级期末）已知梯形的上底长为6cm，中位线长为10cm，则它的下底为 14 cm．
【分析】根据梯形中位线定理列式计算即可．
【解答】解：设梯形的下底为xcm，
由题意得：×（6+x）＝10，
解得：x＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是梯形中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
28．（2022春•杨浦区校级期末）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 8 cm．
【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图，根据等腰梯形的性质得到AC＝BD，再证明四边形ACFD为平行四边形得到DF＝AC＝BD，AD＝CF，接着判断△DBF为等腰直角三角形，所以DE＝BF＝（BC+AD）＝8cm，然后根据梯形的中位线定理求解．
【解答】解：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵AD∥BC，DF∥AC，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴DF＝AC＝BD，AD＝CF，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BF＝（BC+CF）＝（BC+AD）＝8cm，
∴等腰梯形ABCD的中位线的长＝（BC+AD）＝8cm．
故答案为8．
【点评】本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了等腰梯形的性质．通过平移把两条对角线组成一个三角形的两边是解决问题的关键．
29．（2021春•静安区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 6 ．
【分析】过点D作DG⊥BC于G，根据矩形的性质得到HG＝AD＝3，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BH，根据梯形的中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于G，
∵AH⊥BC，
∴AH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AHGD为平行四边形，
∵DG⊥BC，
∴平行四边形AHGD为矩形，
∴HG＝AD＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，
∴AB＝2AH＝2，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
同理可得：GC＝3，
∴BC＝BH+HG+GC＝9，
∴梯形的中位线长＝×（3+9）＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是梯形的中位线、直角三角形的性质、勾股定理的应用，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
30．（2021春•虹口区校级期末）如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝ 1 ．
【分析】根据梯形中位线的性质，计算出EF的长，再根据三角形中位线的性质，求出EG和HF的长，从而计算出GH的长．
【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，
∵EF∥AD∥BC，
∴E、G、H、F分别为AB、BD、AC、DC的中点，
又∵AD＝7，BC＝9，
∴EF＝（7+9）÷2＝8，EG＝HF＝7÷2＝3.5，
∴GH＝EF﹣EG﹣HF＝8﹣3.5﹣3.5＝1．
故答案为：1，
【点评】本题考查梯形的中位线定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握梯形中位线定理，属于中考常考题型．
31．（2020春•浦东新区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．
【点评】本题考查了梯形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及梯形面积公式等知识；熟练掌握梯形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
32．（2020春•徐汇区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，根据平行线的性质得到∠DCM＝∠HAM，根据线段中点的定义得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD，CD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD＝BC，AB∥CD，
∴AC＝BD，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝6，
∴AE＝AC＝6，
∴CH＝AE＝3，
∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；
（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠DCM＝∠HAM，
∵M是对角线AC的中点，
∴AM＝CM，
∵∠CMD＝∠AMH，
∴△AMH≌△CMD（ASA），
∴DM＝HM，
∵N是对角线BD的中点，
∴DN＝BN，
∴MN∥AB∥CD，
∴AG＝DG，
∴GM＝CD＝，
∵MN＝2，
∴GN＝，
∴AB＝2GN＝7．
【点评】本题考查了梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，又可求中位线．
【详解】解：上底下底两腰周长，
上底下底，
上底下底，
中位线．
故选：C．
【点睛】本题利用了梯形的周长公式以及梯形中位线定理．解题的关键是牢记中位线与两底的数量关系．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出，得出，推出，过作交于，推出四边形是平行四边形，得出，，，证是等边三角形，求出即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
这个梯形的周长是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【分析】运用正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定依次排查即可．
【详解】解：A、已经是矩形，根据邻边相等可以判定是菱形，继而判定是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、对角线互相平分可以判定是平行四边形，对角线相等可以继续判定是矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、平行四边形可以得出对边平行，推导内错角相等，再结合对角线平分一组对角可以得到邻边相等，继而判定是菱形，故此选项正确，不符合题意；
D、“同一底的两个底角相等才叫等腰梯形”，若同侧上下两个底角相等，则是直角梯形，故此选项不正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案．
【详解】解：过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
是等边三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】根据等腰梯形的性质求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．
【详解】解：四边形是等腰梯形，，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
梯形的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出和是解此题的关键．
6．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
【答案】B
【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】解：连接、，
、分别是、的中点，
，
同理可得，，，，
当时，，
四边形为菱形，
顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足，
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故错误，符合题意；
B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法，难度不大．
二、填空题
8．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
【答案】5或2
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：如图中，当，时，延长交于如图中，当，时；由直角三角形的性质，梯形的中位线定理可得出答案．
【详解】如图中，当，时，延长交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图中，当，时，
同法可证，，，
可得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构建梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线______．
【答案】
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
10．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD=4，AB=8，梯形的高为________．
【答案】6
【分析】过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．由已知可证△BDF是等腰直角三角形，可得BF=AF+AB=12，继而求出DE的长．
【详解】解：如图，过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．
∵AC∥DF，
∴ACDF是平行四边形，
∴AF=CD，
又AC⊥BD，且AC=BD，
∴BD⊥DF，BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=AF+AB=12，
∴DE=BF=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是平移一条对角线，两条对角线与上、下底的和构成三角形，再根据梯形的条件解这个三角形求高或者求梯形的面积．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为___，面积为___．
【答案】
【分析】过点作，可得四边形是矩形，根据等腰梯形的性质可得出，求出后问题即可解决．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
∵，梯形是等腰梯形，
∴四边形是矩形，．
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的周长，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰梯形的定义和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．
12．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．
【答案】或##或
【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离．
【详解】∵，，，
∴
如图，当点在右侧时，连接，
由旋转可知，，，
∵
∴
∵为的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
则：；
如图，当点在左侧时，连接，
同理可得：，，，
则：；
综上，点B与点的距离为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出
为的中位线是解决问题的关键．
13．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为___________cm．
【答案】4
【分析】先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由三角形的中位线定理即可得．
【详解】解：取的中点，连接，
，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
【答案】3
【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长、交于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
为的中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线，
，
点移动的路径长度为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
16．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案．
【详解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键．
三、解答题
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，四边形中，AD∥BC，，，是上方一点，分别联结、、、，已知，点、分别是、与的交点．求证：四边形是等腰梯形．
【答案】证明见详解
【分析】证明≌（SAS），可得，然后根据平行线的性质可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】由题意得四边形ABCD为等腰梯形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质和等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
18．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2 ）先证明△BDF是等边三角形，再证明∠ABF＝90°，即可得到结论．
（1）
证明：连接BD．
∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴ACBF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）
∵BC垂直平分DF，
∴BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵ADBC，
∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、矩形的定义、等边三角形的判定和性质等，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的定义是解题的关键．
19．（2022春·上海·八年级期末）已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形．
【答案】证明见解析
【分析】由题意得到四边形为等腰梯形，得到对角线相等，再由点、分别是对角线、的中点，等量代换得到，利用三线合一得到垂直于，垂直于，利用得到与全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，再利用得到与全等，利用全等三角形对应角相等得到，进而得到与平行，与不平行，即四边形为梯形，再利用对角线相等的梯形为等腰梯形即可得证．
【详解】证明：∵梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵点、分别是对角线、的中点，
∴，，
∴，
∵，点、分别是对角线、的中点，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设对角线交于点O，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴和都是锐角，
∴与不平行，
∴四边形为梯形，
又∵，
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，梯形的判定以及平行线的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键．
20．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG．
(1)求证：四边形AEGF是平行四边形；
(2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，则AE＝FG，进而可证四边形AEGF是平行四边形；
（2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，进而可得结论．
（1）
证明：∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C，
∵ABFG，
∴∠FGC＝∠B，
∴∠FGC＝∠C，
∴FG＝FC，
∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∴AE＝FG，
∴四边形AEGF是平行四边形；
（2）
证明：连接DG，
由（1）得：FG＝DF＝CF，
∴∠DGC＝90°，
∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG＝2∠DGF，
∵∠GFC＝2∠EGB，
∴∠DGF＝∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC＝90°，
∴∠FGC+∠BGE＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题目的已知条件可得是的中位线，所以，由此可得，再根据三角形外角和定理即可证明；
（2）连接，易证是等腰三角形，所以，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明，进而可得：，
【详解】（1）证明，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，，分别是，，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，解题的关键是掌握中位线的性质．
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.
(1)求证：；
(2)如果，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，推出，，再由三角形内角和定理即可证明；
（2）取中点G，连接，证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：取中点G，连接，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线定理，关键是作辅助线构造全等三角形．
23．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，点、是边的三等分点，、的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据平行四边形的判定可得四边形FBGH是平行四边形.
（2）连接BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解．
（1）
证明：∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF=FG=GC，
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG，
同理：EH∥BF，
∴四边形FBGH是平行四边形；
（2）
连接BH，交AC于点O，
∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO=HO，FO=GO，
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO，
∴四边形ABCH是平行四边形，
∴AH∥BC，
∴∠HAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAH，
∴∠HAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
又∵四边形ABCH是平行四边形，
∴四边形ABCH是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质，注意运用三角形的中位线定理．
24．（2022春·上海·八年级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．
【答案】．
【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC=，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线定理求解．
【详解】解：延长AD交BC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
在△CDA和△CDE中，
，
∴△CDA≌△CDE（ASA），
∴AD=ED，CE=CA=10，
∵点M是AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键．
考点一：梯形
考点二：直角梯形
考点三：等腰梯形的性质
考点四：等腰梯形的判定
考点五：三角形中位线定理
考点六：梯形中位线定理
考点考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位线
4.梯形常用辅助线的添法
梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.
考点精讲
一．梯形（共5小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，当∠A＝60°时，对角线BD＝ ．
2．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点E．点F在DA延长线上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求证：四边形AFBC是菱形．
3．（2022春•浦东新区校级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出 个．
4．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于点O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．则BD＝ ．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 ．
二．直角梯形（共4小题）
6．（2022春•浦东新区校级期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 ．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．
8．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周长．
9．（2022春•浦东新区校级期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ ．
三．等腰梯形的性质（共6小题）
10．（2022春•闵行区校级月考）等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 ．
11．（2022春•长宁区校级期末）若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 ．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 cm．
14．（2022春•静安区期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高为 ．
15．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
四．等腰梯形的判定（共4小题）
16．（2022春•长宁区校级期末）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
17．（2022春•宝山区校级月考）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形
18．（2022春•杨浦区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一点，分别联结EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，点F、G分别是EB、EC与AD的交点．
求证：四边形FBCG是等腰梯形．
19．（2022春•奉贤区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求证：四边形AECB是等腰梯形；
（2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
五．三角形中位线定理（共6小题）
20．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
21．（2022春•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 ．
22．（2022春•长宁区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
23．（2022春•虹口区校级月考）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 ．
24．（2022春•奉贤区校级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
25．（2022春•奉贤区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
六．梯形中位线定理（共7小题）
26．（2022春•浦东新区校级期中）已知梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，那么梯形的中位线长为 ．
27．（2022春•长宁区校级期末）已知梯形的上底长为6cm，中位线长为10cm，则它的下底为 cm．
28．（2022春•杨浦区校级期末）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 cm．
29．（2021春•静安区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 ．
30．（2021春•虹口区校级期末）如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝ ．
31．（2020春•浦东新区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
32．（2020春•徐汇区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
3．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
6．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
7．（2022春·上海·八年级校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
二、填空题
8．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线______．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为___，面积为___．
12．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．
13．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为___________cm．
14．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
16．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
三、解答题
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，四边形中，AD∥BC，，，是上方一点，分别联结、、、，已知，点、分别是、与的交点．求证：四边形是等腰梯形．
18．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
19．（2022春·上海·八年级期末）已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形．
20．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG．
(1)求证：四边形AEGF是平行四边形；
(2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
21．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)；
(2)．
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.
(1)求证：；
(2)如果，求证：.
23．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，点、是边的三等分点，、的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，求证：四边形是菱形．
24．（2022春·上海·八年级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．
核心考点05 梯形
目录
考点一：梯形
考点二：直角梯形
考点三：等腰梯形的性质
考点四：等腰梯形的判定
考点五：三角形中位线定理
考点六：梯形中位线定理
考点考向
1.梯形
2.等腰梯形
3.三角形、梯形的中位线
4.梯形常用辅助线的添法
梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.
考点精讲
一．梯形（共5小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，当∠A＝60°时，对角线BD＝ 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形的性质求出∠ADE，进而求出AE，根据勾股定理求出DE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
在△ADE中，∠A＝60°，
则∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD＝×6＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝9﹣3＝6，DE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点E．点F在DA延长线上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．
求证：四边形AFBC是菱形．
【分析】根据梯形的性质和SSS可证△ABC≌△DCB，再根据全等三角形的性质和平行四边形的判定与性质，根据菱形的判定即可求解．
【解答】证明：在梯形ABCD中，∵AD//BC，AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵BD＝BC，
∴AC＝BC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠CAB＝∠BDC，
∵∠FBA＝∠BDC，
∴∠CAB＝∠FBA，
∴FB//AC，
∵FA//BC，FB//AC，
∴四边形AFBC是平行四边形，
又∵AC＝BC，
∴四边形AFBC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
3．（2022春•浦东新区校级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出 6 个．
【分析】运用数字组合的规律结合梯形的定义可解决此问题．
【解答】解：由4做梯形的一个底，有以下三种情况：
5做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，5、7做腰；7做另一个底，5、6做腰；
由5做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，4、7做腰；7做另一个底，4、6做腰；
由6做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、7做腰；7做另一个底，4、5做腰；
由7做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、7做腰；6做另一个底，4、5做腰；
以上情况，除去形状相同的，能画出的图形数量是：3×4÷2＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查梯形的定义，找规律，分类讨论是解题的关键．
4．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于点O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．则BD＝ ．
【分析】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，证得四边形ACED是平行四边形，△BDE是直角三角形，由平行四边形的性质求出CE，DE，进而求出BC，根据勾股定理即可求出BD
【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝2，DE＝AC＝5，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
在Rt△BDE中，
BD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，把问题转化为平行四边形和直角三角形问题是解决问题的关键．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 20或8或16 ．
【分析】分三种情况进行讨论，先根据勾股定理和线段的和差关系求出下底，再根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，
∵AH是高，AH＝4，
∴DE＝4，
∵CD＝5，
∴CE＝＝3，
∵AB＝，
∴BH＝＝1，
∵AD∥BC，
∴HE＝AD＝3，
①梯形ABCD的面积＝（（3+1+3+3）×4÷2＝20；
②梯形ABCD的面积＝（（3+1+3﹣3）×4÷2＝8；
③梯形ABCD的面积＝（（3+3+3﹣1）×4÷2＝16．
故梯形ABCD的面积是20或8或16．
故答案为：20或8或16．
【点评】本题考查了梯形，关键是求出梯形的下底，注意分类思想的应用．
二．直角梯形（共4小题）
6．（2022春•浦东新区校级期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 8或24 ．
【分析】分两种情况画图：①过点C作CE⊥AB于E，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得CD的长；②过点C作BE⊥CD于E，再根据勾股定理求出CE的长，进而可得CD的长．
【解答】解：①如图，过点C作CE⊥AB于E，
得四边形DAEC为矩形，
∴CE＝AD＝15，CD＝AE，
在Rt△ABE中，BC＝17，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8，
∴CD＝8；
②如图，过点C作BE⊥CD于E，
得四边形ADEB为矩形，
∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16，
在Rt△CBE中，BC＝17，根据勾股定理，得
CE＝＝＝8，
∴CD＝DE+CE＝16+8＝24，
综上所述：CD的长为8或24．
故答案为：8或24．
【点评】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想画图解答．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】证明△ADE≌△CDE（SSS），推出∠ADE＝∠CDE，由∠ADC＝90°，推出∠ADB＝∠CDB＝45°，由AD∥CD，推出∠ADB＝∠DBC＝45°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，推出CD＝CB，再证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．
【解答】证明：在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵AD∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝CB，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝DC，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查直角梯形，全等三角形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．
求：梯形ABCD的周长．
【分析】先作DH⊥BC于点H，得四边形ABHD是矩形，则BH＝AD＝2，CH＝8，再由勾股定理求出DH，即求出AB，从而求出梯形ABCD的周长．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，
根据题意，得四边形ABHD是矩形，BH＝AD＝2，
∵BC＝10，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣2＝8，
∵CD＝10，
∴DH＝＝6，
∴AB＝DH＝6，
∴梯形ABCD的周长为：AD+AB+BC+CD＝2+6+10+10＝28．
答：梯形ABCD的周长为28．
【点评】此题考查的知识点是直角梯形、勾股定理及矩形的判定与性质，关键是先作辅助线得矩形，再用勾股定理求AB．
9．（2022春•浦东新区校级期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝ 60°或120° ．
【分析】可分两种情况：当∠C为锐角时，当∠C为钝角时，过D（C）作垂线，结合矩形的判定与性质，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度数，进而可求解．
【解答】解：当∠C为锐角时，如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝，
∵CD＝3，
∴CF＝，
∴CD＝2CF，
∴∠CDF＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°；
当∠C为钝角时，如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°，
∵CD＝3，
∴DF＝，
∴∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝90°+30°＝120°．
综上，∠BCD＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
【点评】本题主要考查直角梯形，矩形的判定与性质，含30° 角的直角三角形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
三．等腰梯形的性质（共6小题）
10．（2022春•闵行区校级月考）等腰梯形的对角线互相垂直，两底之和为16，那么这个梯形的面积是 64 ．
【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到AD＝CE，AC＝DE，S△DCE＝S△DAB，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，
则四边形ACED为平行四边形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∴BE＝BC+CE＝BC+AD＝16，S△DCE＝S△DAB，
∴S梯形ABCD＝S△DBE，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE＝BE＝8，
∴S△DBE＝×8×8＝64，
∴S梯形ABCD＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质、三角形的面积计算，正确作出辅助线、根据等腰梯形的性质得到AC＝BD是解题的关键．
11．（2022春•长宁区校级期末）若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则一条对角线与底边的夹角是 45° ．
【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到AC＝DE，进而得到DE＝DB，根据的原直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴DE＝DB，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC＝45°，即一条对角线与底边的夹角是45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、平行四边形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，熟记等腰梯形的对角线相等是解题的关键．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据已知利用等腰梯形的性质对各个结论进行分析从而得出最后的答案．
【解答】解：根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．
①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此结论成立；
②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此结论成立．
③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．
④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质．根据等腰梯形的性质得出的角和边相等是解题的基础．
13．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 （11﹣5） cm．
【分析】首先过点A作AE∥CD交BC于点E，即可得四边形AECD是平行四边形；根据平行四边形的对边相等，可得AD＝CE，AE＝CD，又由∠B＝45°，易得△ABE是等腰直角三角形，即可求得BE的长，即可求出AD的长．
【解答】解：过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝AE＝5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝5cm，
∵BC＝BE+CE＝BE+AD＝11cm，
∴AD＝BC﹣BE＝（11﹣5）cm．
∴这个梯形的上底为（11﹣5）cm，
故答案为：（11﹣5）．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质以及等腰直角三角形性质．解此题的关键是要注意平移梯形的腰，构造三角形与平行四边形．
14．（2022春•静安区期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高为 6 ．
【分析】过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．由已知可证△BDF是等腰直角三角形，可得BF＝AF+AB＝12，继而求出DE的长．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．
∵AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，
又AC⊥BD，且AC＝BD，
∴BD⊥DF，BD＝DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF+AB＝12，
∴DE＝BF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是平移一条对角线，两条对角线与上、下底的和构成三角形，再根据梯形的条件解这个三角形求高或者求梯形的面积．
15．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．
【分析】本题要靠辅助线的帮助．首先求出△BDE是等腰直角三角形，推出DF与BE的关系．
【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，过D作DF⊥BE于F．
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE＝AC，CE＝AD＝3，
在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，
∴BD＝AC，
∴DE＝BD，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥DB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DF＝BE＝（BC+CE）＝×（7+3）＝5，即梯形的高为5．
【点评】此题是一个综合题，考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，关键是得到△BDE是等腰直角三角形．
四．等腰梯形的判定（共4小题）
16．（2022春•长宁区校级期末）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．梯形
【分析】根据平行四边形的定义得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理得出结论．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形，
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定，熟记菱形的对角线相等是解题的关键．
17．（2022春•宝山区校级月考）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形
【分析】先画出图形，再根据平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B．如图，
∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C．如图，
∵四边形FGH是平行四边形，
∴∠EHG＝∠EFG，
∵FH分别平分∠EFG和∠EHG，
∴∠EHF＝EHG，∠EFH＝EFG，
∴∠EHF＝∠EFH，
∴EH＝EF，
∴平行四边形EFGH是菱形，故本选项不符合题意；
D．如图，
当底角∠A＝∠B时，梯形ABCD不是等腰梯形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定，能熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定是解此题的关键．
18．（2022春•杨浦区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一点，分别联结EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，点F、G分别是EB、EC与AD的交点．
求证：四边形FBCG是等腰梯形．
【分析】证明△ABE≌△CDE（SAS），可得EB＝EC，然后根据平行线的性质可得∠EFG＝∠EGF，所以EF＝EG，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAB＝∠BAD+∠EAD，∠EDC＝∠CDA+∠EDA，
∴∠EAB＝∠EDC，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，
∴FB＝GC，
∵FG∥BC，
∴四边形FBCG是等腰梯形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
19．（2022春•奉贤区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求证：四边形AECB是等腰梯形；
（2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）由AD＝AC，证得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行线的判定推出AB∥DE，根据三角形的判定证得△ADE≌△CAB，即可证得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可证得结论；
（2）通过全等三角形的性质得到AF＝CE，推出四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠ACD＝BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE＝BC，
∴四边形AECB是等腰梯形；
（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵BC＝CF，
∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠AEC，
在△AEC和△CFA中，，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴▱AECF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
五．三角形中位线定理（共6小题）
20．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN＝AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM＝AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN＝90°，根据BN2＝BM2+MN2即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN＝AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM＝AC，
∵AC＝AD，
∴MN＝BM．
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2+MN2，
由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，
∴BN＝
【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形DBCE的周长为 11 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据线段中点的概念分别求出DB、EC，计算即可．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，AB＝AC＝5，
∴DE是△ABC的中位线，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5，
∴DE＝BC，
∵BC＝4，
∴DE＝2，
∴四边形DBCE的周长＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
22．（2022春•长宁区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
【分析】根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长，
【解答】解：根据中位线的性质易知，A15B15＝A13B13×A11B11…×A1B1＝××…×AC；
B15C15＝B13C13×A11B11×…＝×B1C1＝××…×BD，
∴四边形A15B15C15D15的周长是2×（a+b）＝．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
23．（2022春•虹口区校级月考）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 6 ．
【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，证明四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设四边形ABCD的“中对线”交于点O，连接EF、FG、GH、HE，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6，
同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，
∴四边形EFGH为菱形，∠EFG＝60°，
∴∠EFO＝30°，
∴OE＝EF＝3，
在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，
∴FH＝6，即该四边形较长的“中对线”的长度为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理和菱形的判定定理证明四边形EFGH为菱形是解题的关键．
24．（2022春•奉贤区校级期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
25．（2022春•奉贤区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFE，进而可得：AH＝AF，
【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，
∴EG是△BDC的中位线，
∴EG∥BD，
∴∠CGE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，
∴EG＝BD，FG＝AC，
∵BD＝AC，
∴GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE＝∠H，
∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，
∴∠H＝∠AFE，
∴AH＝AF．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
六．梯形中位线定理（共7小题）
26．（2022春•浦东新区校级期中）已知梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，那么梯形的中位线长为 5厘米 ．
【分析】根据梯形面积求出（AD+BC）＝5厘米，根据梯形的中位线旋转得出EF＝（AD+BC），求出即可．
【解答】解：
∵梯形的面积为20平方厘米，高为4厘米，
∴（AD+BC）×4＝20，
∴（AD+BC）＝5厘米，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝（AD+BC）＝5厘米，
故答案为：5厘米
【点评】本题考查了梯形中位线性质的应用，关键是求出（AD+BC）的值和得出EF＝（AD+BC）．
27．（2022春•长宁区校级期末）已知梯形的上底长为6cm，中位线长为10cm，则它的下底为 14 cm．
【分析】根据梯形中位线定理列式计算即可．
【解答】解：设梯形的下底为xcm，
由题意得：×（6+x）＝10，
解得：x＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是梯形中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
28．（2022春•杨浦区校级期末）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为 8 cm．
【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图，根据等腰梯形的性质得到AC＝BD，再证明四边形ACFD为平行四边形得到DF＝AC＝BD，AD＝CF，接着判断△DBF为等腰直角三角形，所以DE＝BF＝（BC+AD）＝8cm，然后根据梯形的中位线定理求解．
【解答】解：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，如图，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵AD∥BC，DF∥AC，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴DF＝AC＝BD，AD＝CF，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BF＝（BC+CF）＝（BC+AD）＝8cm，
∴等腰梯形ABCD的中位线的长＝（BC+AD）＝8cm．
故答案为8．
【点评】本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了等腰梯形的性质．通过平移把两条对角线组成一个三角形的两边是解决问题的关键．
29．（2021春•静安区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 6 ．
【分析】过点D作DG⊥BC于G，根据矩形的性质得到HG＝AD＝3，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BH，根据梯形的中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于G，
∵AH⊥BC，
∴AH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AHGD为平行四边形，
∵DG⊥BC，
∴平行四边形AHGD为矩形，
∴HG＝AD＝3，
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，
∴AB＝2AH＝2，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
同理可得：GC＝3，
∴BC＝BH+HG+GC＝9，
∴梯形的中位线长＝×（3+9）＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是梯形的中位线、直角三角形的性质、勾股定理的应用，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．
30．（2021春•虹口区校级期末）如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝ 1 ．
【分析】根据梯形中位线的性质，计算出EF的长，再根据三角形中位线的性质，求出EG和HF的长，从而计算出GH的长．
【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，
∵EF∥AD∥BC，
∴E、G、H、F分别为AB、BD、AC、DC的中点，
又∵AD＝7，BC＝9，
∴EF＝（7+9）÷2＝8，EG＝HF＝7÷2＝3.5，
∴GH＝EF﹣EG﹣HF＝8﹣3.5﹣3.5＝1．
故答案为：1，
【点评】本题考查梯形的中位线定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握梯形中位线定理，属于中考常考题型．
31．（2020春•浦东新区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．
【点评】本题考查了梯形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及梯形面积公式等知识；熟练掌握梯形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
32．（2020春•徐汇区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，根据平行线的性质得到∠DCM＝∠HAM，根据线段中点的定义得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD，CD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD＝BC，AB∥CD，
∴AC＝BD，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝6，
∴AE＝AC＝6，
∴CH＝AE＝3，
∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；
（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠DCM＝∠HAM，
∵M是对角线AC的中点，
∴AM＝CM，
∵∠CMD＝∠AMH，
∴△AMH≌△CMD（ASA），
∴DM＝HM，
∵N是对角线BD的中点，
∴DN＝BN，
∴MN∥AB∥CD，
∴AG＝DG，
∴GM＝CD＝，
∵MN＝2，
∴GN＝，
∴AB＝2GN＝7．
【点评】本题考查了梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，又可求中位线．
【详解】解：上底下底两腰周长，
上底下底，
上底下底，
中位线．
故选：C．
【点睛】本题利用了梯形的周长公式以及梯形中位线定理．解题的关键是牢记中位线与两底的数量关系．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．18cm
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出，得出，推出，过作交于，推出四边形是平行四边形，得出，，，证是等边三角形，求出即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
这个梯形的周长是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）在下列说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；D．有两个底角相等的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【分析】运用正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定依次排查即可．
【详解】解：A、已经是矩形，根据邻边相等可以判定是菱形，继而判定是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、对角线互相平分可以判定是平行四边形，对角线相等可以继续判定是矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、平行四边形可以得出对边平行，推导内错角相等，再结合对角线平分一组对角可以得到邻边相等，继而判定是菱形，故此选项正确，不符合题意；
D、“同一底的两个底角相等才叫等腰梯形”，若同侧上下两个底角相等，则是直角梯形，故此选项不正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案．
【详解】解：过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
是等边三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】根据等腰梯形的性质求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．
【详解】解：四边形是等腰梯形，，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
梯形的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出和是解此题的关键．
6．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
【答案】B
【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】解：连接、，
、分别是、的中点，
，
同理可得，，，，
当时，，
四边形为菱形，
顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足，
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
7．（2022春·上海·八年级校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故错误，符合题意；
B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法，难度不大．
二、填空题
8．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
【答案】5或2
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：如图中，当，时，延长交于如图中，当，时；由直角三角形的性质，梯形的中位线定理可得出答案．
【详解】如图中，当，时，延长交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图中，当，时，
同法可证，，，
可得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构建梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．
9．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线______．
【答案】
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
10．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，若CD=4，AB=8，梯形的高为________．
【答案】6
【分析】过点D作DF∥AC，交BA的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．由已知可证△BDF是等腰直角三角形，可得BF=AF+AB=12，继而求出DE的长．
【详解】解：如图，过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，并过点D作DE⊥AB交AB于点E．
∵AC∥DF，
∴ACDF是平行四边形，
∴AF=CD，
又AC⊥BD，且AC=BD，
∴BD⊥DF，BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=AF+AB=12，
∴DE=BF=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是平移一条对角线，两条对角线与上、下底的和构成三角形，再根据梯形的条件解这个三角形求高或者求梯形的面积．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为___，面积为___．
【答案】
【分析】过点作，可得四边形是矩形，根据等腰梯形的性质可得出，求出后问题即可解决．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
∵，梯形是等腰梯形，
∴四边形是矩形，．
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的周长，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰梯形的定义和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．
12．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为__________．
【答案】或##或
【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离．
【详解】∵，，，
∴
如图，当点在右侧时，连接，
由旋转可知，，，
∵
∴
∵为的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
则：；
如图，当点在左侧时，连接，
同理可得：，，，
则：；
综上，点B与点的距离为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出
为的中位线是解决问题的关键．
13．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为___________cm．
【答案】4
【分析】先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，在中，，是的中点．若，则等于______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由三角形的中位线定理即可得．
【详解】解：取的中点，连接，
，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
【答案】3
【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长、交于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
为的中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线，
，
点移动的路径长度为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
16．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案．
【详解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键．
三、解答题
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，四边形中，AD∥BC，，，是上方一点，分别联结、、、，已知，点、分别是、与的交点．求证：四边形是等腰梯形．
【答案】证明见详解
【分析】证明≌（SAS），可得，然后根据平行线的性质可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】由题意得四边形ABCD为等腰梯形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质和等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
18．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形．
(2)联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2 ）先证明△BDF是等边三角形，再证明∠ABF＝90°，即可得到结论．
（1）
证明：连接BD．
∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC．
又∵DE⊥BC，EF＝DE，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，
∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，
∴ACBF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）
∵BC垂直平分DF，
∴BD＝BF，∠BED＝90°，
∵BD＝DF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵ADBC，
∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、矩形的定义、等边三角形的判定和性质等，熟练掌握平行四边形的判定和矩形的定义是解题的关键．
19．（2022春·上海·八年级期末）已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形．
【答案】证明见解析
【分析】由题意得到四边形为等腰梯形，得到对角线相等，再由点、分别是对角线、的中点，等量代换得到，利用三线合一得到垂直于，垂直于，利用得到与全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，再利用得到与全等，利用全等三角形对应角相等得到，进而得到与平行，与不平行，即四边形为梯形，再利用对角线相等的梯形为等腰梯形即可得证．
【详解】证明：∵梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵点、分别是对角线、的中点，
∴，，
∴，
∵，点、分别是对角线、的中点，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设对角线交于点O，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴和都是锐角，
∴与不平行，
∴四边形为梯形，
又∵，
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，梯形的判定以及平行线的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键．
20．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG．
(1)求证：四边形AEGF是平行四边形；
(2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，则AE＝FG，进而可证四边形AEGF是平行四边形；
（2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，进而可得结论．
（1）
证明：∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C，
∵ABFG，
∴∠FGC＝∠B，
∴∠FGC＝∠C，
∴FG＝FC，
∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∴AE＝FG，
∴四边形AEGF是平行四边形；
（2）
证明：连接DG，
由（1）得：FG＝DF＝CF，
∴∠DGC＝90°，
∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG＝2∠DGF，
∵∠GFC＝2∠EGB，
∴∠DGF＝∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC＝90°，
∴∠FGC+∠BGE＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题目的已知条件可得是的中位线，所以，由此可得，再根据三角形外角和定理即可证明；
（2）连接，易证是等腰三角形，所以，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明，进而可得：，
【详解】（1）证明，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，，分别是，，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，解题的关键是掌握中位线的性质．
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.
(1)求证：；
(2)如果，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，推出，，再由三角形内角和定理即可证明；
（2）取中点G，连接，证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：取中点G，连接，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线定理，关键是作辅助线构造全等三角形．
23．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，点、是边的三等分点，、的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据平行四边形的判定可得四边形FBGH是平行四边形.
（2）连接BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解．
（1）
证明：∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF=FG=GC，
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG，
同理：EH∥BF，
∴四边形FBGH是平行四边形；
（2）
连接BH，交AC于点O，
∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO=HO，FO=GO，
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO，
∴四边形ABCH是平行四边形，
∴AH∥BC，
∴∠HAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAH，
∴∠HAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
又∵四边形ABCH是平行四边形，
∴四边形ABCH是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定，平行四边形的判定和性质，注意运用三角形的中位线定理．
24．（2022春·上海·八年级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．
【答案】．
【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC=，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线定理求解．
【详解】解：延长AD交BC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
在△CDA和△CDE中，
，
∴△CDA≌△CDE（ASA），
∴AD=ED，CE=CA=10，
∵点M是AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键．
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