圆锥曲线的方程（十五）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（十五）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共13页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五
知识点一 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例1、如图，抛物线的焦点为F，点A为抛物线上的一动点，直线AF交抛物线
于另一点B，当直线的斜率为1时，线段的中点的横坐标为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过B与轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围．
随堂练习：如图，已知过点，圆心C在抛物线上运动，若MN为在x轴上截得的弦，设，，
当C运动时，是否变化？证明你的结论．
求的最大值，并求出取最大值时值及此时方程．
典例2、设点，动圆经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．
知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例3、在平面直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足，问是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
随堂练习：已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足
（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
典例4、已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
典例5、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双
曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
随堂练习:已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五答案
典例1、答案： （1）；（2），，．
解：（1）设直线AF的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
则，. ∴,,
设M(x0，y0),则x1+x2=2x0,∴x0=pk,
∵当k=1时x0=2,∴p=2, 则抛物线的方程为
（2）设，，，．
由题知不垂直于轴，可设直线
由消去得， 故，所以．
又直线的斜率为，故直线的斜率为，
从而的直线，直线，
由解得的纵坐标是，其中，
或． 综上，点的纵坐标的取值范围是，，．
随堂练习：答案： （1）不变（2）最大值为，圆C方程为：
解：设，方程为
与联立
得
在抛物线上 ，代入
得为定值 不变
由可设、，
，


当且仅当时取等号，即 圆方程为
当时，为∠ANx--∠AMx，又

同理，时，仍可得
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由题意，点P到点F的距离等于到直线的距离，
所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， ,
故曲线E的方程是.
（2）显然，直线不与x轴重合，设直线的方程为，
与E联立得：
设，则 则，，
即中点C坐标为，
由题意△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
故，过C与垂直的直线，其方程为，
令，得，故点N坐标为，
又， 故，
令，则，由，解得，
即，解得 又直线的方程为，
令，得到点M横坐标为.
随堂练习：答案： （1）抛物线方程为，点的坐标为 （2）
解：（1）由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，
将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.
（2）直线的方程为，设点、，
联立整理得，，可得或，
由韦达定理可得，，
又，即，所以，，
因为，，则，
又，
令，所以，，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
同理可知，当时，，
又因为或，所以，的取值范围是.
典例3、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）设，由题意得，化简得
（2）存在. 设，，
联立直线与双曲线方程，有
由韦达定理，有 ，


法一：注意到上式当时，上式恒成立，即过定点和
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故为定值，该定值为
法二：联立直线与双曲线方程，有……（1）
（1）式两边平方，有，即……（2）
注意到，是此方程的两个增根，故含有因式，记为代入（2），有 即
即 即
解得，代回（1）有或
经检验直线不过这两点，故上述两点为P，Q，为定值，该定值为
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知，又， 所以，
由，可得， 又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点， 不合题意，故l的斜率存在，

设l：， 联立得：，
设， 则.
因为，故，①
又， 所以，②
联立①②，解得，
于是
所以为定值.
典例4、答案： （1）； （2）存在，，理由见解析.
解：（1）设，， 因为为等边三角形时，其面积为，
所以，解得，即，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知，所以， 所以的方程；
（2）设，则在动直线上的投影， 当时，，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得， 所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）由在双曲线C上，得， 由TP垂直x轴于点P，得，
则由到双曲线C的渐近线的距离为2， 得，得，
联立和， 解得，， 即双曲线C的标准方程为.
（2）由题意，， 当直线无斜率时，直线方程为，则、，
则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，
则，而，，， 不符合题意（舍）；
当直线存在斜率时，设直线方程为，
联立，得， 即
设直线l与双曲线C的右支相交于、，
则， 解得，即或；
则，， 从而，
则线段AB的中点， 且.
由题意设， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，
得，即， 连接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，则，
化简得，得（舍去），
因此直线l的方程为， 即或.
随堂练习：答案：（1）；（2），面积为.
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，得， 故曲线的方程为；
设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（2），
依题意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又， ∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.