圆锥曲线的方程（十）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（十）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共16页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、已知椭圆：经过点，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于､两点，求的取值范围.
随堂练习：已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于 两点，在点处的切线交于两点，如图.
（1）当直线垂直轴时，，求的准线方程；
（2）若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.

典例2、椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
随堂练习：已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
典例3、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数
典例4、已知椭圆：过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.
随堂练习：已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
典例5、已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，
且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值.
随堂练习：已知椭圆的焦点在轴，且右焦点到左顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）与轴不垂直且不重合的直线与椭圆相交于不同的，两点，直线与轴的交点为，点 关于轴的对称点为．
①求面积的最大值； ②当面积取得最大值时，求证：．
典例6、已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，且，求线段MN所在的直线方程．
随堂练习：设椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，点在椭
圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交E于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形 故，
即椭圆：，代入 可得
故椭圆的方程为：
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则；
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得， 则恒成立，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
，则，所以，.
综上所述，的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由知，， 当直线PF垂直于x轴时，由，得，
有， 所以的准线方程为：，即；
（2）由题意知，，设直线，，
则，，
，
由，即直线PB的斜率为，
所以直线PB的方程为：，即，
，
，又G为的重心，且G在x轴上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，则，
所以①式②，
令，则， 所以②式，
故的取值范围为.
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解（1）依题可知：，，
所以，即， 解得
又∵椭圆过点，则 联立 可得，
椭圆的标准方程为．
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
随堂练习：答案： （1）； （2）是定值，且定值为．
解：（1）由已知，， 所以， 解得，椭圆方程为；
（2）设，，则，，所以，,
直线方程为，代入椭圆方程得，
显然是此方程的一个解，另一解为，
而，即为点的横纵坐标，
,
所以． 所以为定值．
典例3、答案： （1） （2）直线过定点，且定点为
解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，
其中，.
为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.
其中，.
因为为等腰三角形，故可得，即有：；
同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；
综上可得：，，即可得椭圆的方程为.
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，
均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，
又正方形的边长为，故，即
又正方形的对角线相等，所以，即
又因为，所以 从而椭圆的方程为.
（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①
设直线的方程为：，
联立方程①与椭圆的方程可得 由韦达定理得，
根据中点公式可得：
则，即 同理可得：
从而直线的斜率为：
故直线的方程为：
因为，将代入上式可得：
故直线必过定点.
解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，
设直线的方程为：②， 设直线的方程为：，
联立方程②与椭圆的方程可得
由韦达定理得
根据中点公式可得：
同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.
由韦达定理可得：，即可得：，
∴直线的方程为：，故直线必过定点.
随堂练习：答案： （1） （2）直线恒过定点，证明见解析
解：（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，， 椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：， ，，
，，
即，
， 即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）依题意得，因离心率为，则椭圆半焦距，于是得，
所以椭圆E的方程为.
（2）设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)，
由消去y并整理得：， 解得，
依题意，即，
整理得：，即，解得，即，
所以的值是.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即， ∴，，
∴，
即，解得：或（舍去） ∴
典例5、答案： （1） （2）4
解：（1）设，则，所以，即.
，则由椭圆定义，
，则，故椭圆的标准方程为；
（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线：，
联立方程得，
设，，由题意，，
由韦达定理，，
则，，
，，，
又
，
当且仅当即时取等号.
随堂练习：答案：（1）椭圆方程为焦点坐标分别为，；（2）①；②证明见解析．
解:（1）因为，所以． 又，所以．
所以椭圆方程为焦点坐标分别为，．
（2）（ⅰ）方法一：
设，，， 所以，．
联立得．
，，，即．
点到直线的距离为．
所以
． 当且仅当即时等号成立．
（ⅱ）因为．
而 所以，所以．
方法二：
（ⅰ）设直线（）， 所以，．
联立方程化简得．
所以．
所以．
点到的距离为：．
．
当且仅当，即等号成立．
（ⅱ） ．
因为， 所以．
典例6、答案：（1） （2）或
解：（1）由，得，已知，，
由椭圆定义，解得，则， ∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为，，，
联立整理得，
则，， ∴．
又，则．
∵，∴， ∴，整理得，
解得或， 则或，
故直线MN的方程为或．
随堂练习：答案： （1） （2）0
解：（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，∴，
方法一： 由题意得，解得， ∴椭圆的方程为；
方法二： 由，
则，又，得， ∴椭圆的方程为；
（2）设，，
由，消去得：
设，
由题意，
从而

同理，又
所以，即，又
故，直线的斜率与直线的斜率之和为0．