圆锥曲线的方程（十三）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（十三）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共13页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三
知识点一 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例1、已知双曲线的方程为.
（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；
（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.
随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线
与直线平行.
（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线 的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
典例2、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的
右焦点到的渐近线的距离为．
（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
典例3、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
（1）求抛物线T的方程；
（2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.
随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N
（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
典例5、已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．

随堂练习：已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点 在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案
典例1、答案： （1）； （2），证明见解析.
解：（1）直线与双曲线即
联立得即
由题意得有两个同号根，则满足 即，即
解得：
双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为
则，所以的中点
又因为点在双曲线上，即 即，即.
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则， 则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，则， 消得：，
则，可得：①
设与轴交点为， 则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即， 同理可得：，
则（定值）.
典例2、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2）
解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为，
代入，得，得，故双曲线C的方程为，
所以，，，故离心率， 渐近线方程为．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，
整理得， ．
设，，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，，
所以AB的中点坐标为，
又点在圆上，所以， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意可得，则． 因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为， 联立得，则，
设、，则，， 所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．

随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，

则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）因为点F到其准线l的距离为4， 所以， 所以抛物线T的方程为；
（2）若直线的斜率不存在时则与题意不符，
故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为，
将直线和抛物线联立，，
则，
所以直线m的方程为.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）由题意知，， 由抛物线的定义可知，
则由，得， 所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由，得， ， 则，
所以，，
因为，
所以
，
所以且，
所以，解得， 即的取值范围为．
典例5、答案：（1）； （2）
解：（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以， 即，所以，
因为，所以； 因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，
所以， 所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为， 则，
， 故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即， 即，即，
且，
即的取值范围为或.