圆锥曲线的方程（十四）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（十四）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共12页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四
知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例1、已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
随堂练习：已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线
C交于M，N两点，且.
（1）求C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
典例2、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．
（1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．
随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三
个点中有且仅有两点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线 与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．
典例3、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．
（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线 的距离不小于，求的取值范围．
随堂练习：已知抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围.
典例5、已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.
随堂练习：已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四答案
典例1、答案： （1） （2）1
解：（1）由题意可得，渐近线的方程为， 设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得， 所以，
若，，则，，
所以|， 所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以， 则，所以．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，解得 故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故， 解得， 此时有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因为，故. 因为，故，
故实数的取值范围是.
典例2答案：（1）离心率为，方程为； （2）．
解：（1）双曲线的渐近线为，
所以圆与切于点，．①
设，则，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以双曲线的离心率为，方程为．
（2）因为，，，
设的方程为，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，

． 故的值为．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，
解得：，双曲线方程为；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解；
综上所述：双曲线的标准方程为.
（2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，，
由得：，
且，即且；
，，
直线与直线的斜率互为相反数，，
即，
化简得：，
整理可得：，即；
当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去；
当，即时，直线直线，即，，
，即； 要证为定值，即证为定值，
即证为定值，
，，即为定值.
典例3、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例4、答案： （1）或； （2）.
解：（1）由题意及抛物线的定义得：，
又因为点在抛物线上，所以，
由 可得或，
所以抛物线的标准方程为或．
（2）设，， 联立消去可得：，
则，，
因为，
所以，
所以，可得，
由原点到直线的距离不小于，可得，解得或，
因为，所以不成立，所以，
因为在上单调递增，
所以，所以， 即的取值范围为．
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1， 所以C的方程为.
（2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m，
设， 由消去x得：，
由题意知，得，
设线段AB的中点为，则，再由，可得，
又点N在直线l上，则，于是，从而有，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
典例5、答案： （1）； （2）16.
解：（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，
易知，，

因为，则，则点为的中点，
连接，则为的中位线，所以，，则，
所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为，
，解得，所以，抛物线的标准方程为.
（2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直，
则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

所以，直线、的斜率均存在且不为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，得，则，
设、，则，
设，则，则，所以，
同理可得， 故，
，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）依题意得： ∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，， 所以
∵ ，
∴
令 ∴原式，
即原式的最大值.