圆锥曲线的方程（七）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（七）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共15页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例1、已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．
（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．
（1）求C的方程．（2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
典例2、已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．
（1）求C的方程；
（2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．
随堂练习：已知椭圆C：过点，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．
典例3、已知椭圆，左右焦点分别为，直线y=-x+1与椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求的面积．
随堂练习：已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．
（1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值；
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
典例5、已知椭圆E经过点和点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.
随堂练习： 已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于
点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
典例6、已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，若，求的周长与面积.
随堂练习：已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点．
（1）求椭圆的方程； （2）求圆周长的最大值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）因为，所以，且．
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，，所以， 所以椭圆方程为．
（2）∵，又∵，∴，∴P点的坐标为．
依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y整理，解得或，
所以Q点坐标为， 从而M点坐标为，
所以直线PM的方程为， 则N点的坐标为，
因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以，
即，解得（舍负），
所以满足条件的直线l的方程为， 即：．
随堂练习：答案：（1） （2）存在；
解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为， 则，解得，
则C的内接正方形的面积为，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程为．
（2）存在梯形，其面积的最大值为． 理由如下：设直线，．
因为直线l经过点，所以， 所以点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，
所以梯形的面积（为直线l的倾斜角），
所以， 当且仅当时，等号成立，
此时，直线，直线，
联立这两条直线的方程，解得， 因为，
所以点在C的内部. 同理可证：也在C的内部.
故在C内存在梯形，其面积的最大值为．
典例2、答案： （1）； （2）证明见解析﹒
解：（1）设()，由题意知，∴．
∵点，且，解得， ∴，，
因此C的方程为．
（2）由题意可知，直线l的方程为．
由得，
设，，则，．
∵轴，∴，∴直线，
令，得． ∵轴，∴．
∴
，
∴B，M，E三点共线．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知，，， 所以，则，
所以椭圆C的方程为．
（2）由题知：l斜率不为零，设l为，，，
由得，，则，，
所以， ∴，直线AM的方程为，则，
∴，，
∴
，即， ∴N、B、Q三点共线．
典例3、答案： （1）焦点坐标为；离心率为 （2）
解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，
由， 所以，所以焦点坐标为
离心率为：
（2）由直线y=-x+1与椭圆相交于两点，设
则消去得，，
所以
又到y=-x+1的距离为
所以的面积为：
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）由题意，得，解得， 所以椭圆方程为，
，，， 则离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
又因为，， 所以四边形的面积,
当直线的斜率存在时，设的方程为，
设 ， 联立方程，消去，得，
由题意，可知恒成立， 则，，
四边形的面积

令，则四边形的面积，，
所以， 综上所述，四边形面积的最大值.
典例4、答案： （1） （2）直线过定点，且定点为
解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，
其中，.
为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.
其中，.
因为为等腰三角形，故可得，即有：；
同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；
综上可得：，，即可得椭圆的方程为.
解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，
均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，
又正方形的边长为，故，即
又正方形的对角线相等，所以，即
又因为，所以 从而椭圆的方程为.
（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①
设直线的方程为：，
联立方程①与椭圆的方程可得
由韦达定理得， 根据中点公式可得：
则，即 同理可得：
从而直线的斜率为：
故直线的方程为：
因为，将代入上式可得：
故直线必过定点.
解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，
设直线的方程为：②， 设直线的方程为：，
联立方程②与椭圆的方程可得
由韦达定理得 根据中点公式可得：
同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.
由韦达定理可得：，即可得：，
∴直线的方程为：，故直线必过定点.
随堂练习：答案： （1） （2）直线恒过定点，证明见解析
解：（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：， ，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）设椭圆E方程为，（t，且）
将点代入椭圆方程得到,
解得， 所以椭圆的标准方程为.
（2）不妨设直线l的方程为,
因为该直线与圆相切，所以， 所以，
将直线方程代入椭圆方程并消去x
得：，则,，
所以，
联立，解得，
即或， 则直线l的方程为或.
随堂练习：答案： （1），（2）.
解:
（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为
所以，所以 所以方程为
（2）设 联立可得
所以由得
因为 所以可解得
典例6、答案： （1）；（2），
解:（1）选择条件①：由已知可得点代入椭圆方程得：
故椭圆方程为：

选择条件②：
由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，则，
∵，
∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，
∴的轨迹方程为.
（2）设 ， 则
在 中，根据余弦定理可得：
即
根据定义： 代入上式得： 故
且周长为：
随堂练习：答案：（1）；（2）．
解:（1）设椭圆的半焦距为，则，
当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
又直线与椭圆交于点，，
将点代入椭圆方程得：
解得或（舍）， 椭圆的方程为
（2）设圆的半径为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，

当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，
设， 由得
，

又
综上， 当时，圆的周长取得最大值．