2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题15（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题15（含解析）-练习，共16页。
典例1、如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）记和的交点为M，点N在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在三棱柱中，，F是
的中点．
（1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值．
典例2、在直角梯形中，，，，，M为线段中点，将 沿折起，使平面平面，得到几何体.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC．
（1）证明：PD⊥平面BCD；
（2）若M为PB的中点，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．
知识点二 证明线面平行,求组合体的体积
典例3、如图所示，在直三棱柱中，D是的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，求三棱锥的体积．
随堂练习：已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．
典例4、如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.
（1）求证：平面EBD； （2）求三棱锥的体积.
随堂练习：如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，为的中点．
（1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积．
典例5、如图所示，在直三棱柱中，
（1）当P为的中点时，求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
随堂练习：如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是的中点．
（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．
典例6、如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.
（1）设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.
随堂练习：已知正三棱柱中，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
空间向量和立体几何高考复习专题十五答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，
因为，，所以平面，
∵平面，∴，因为∥，所以，
因为，故四边形为菱形，故，
∵，∴平面
（2）由平面，平面，平面平面，
故，又M为中点，故N为中点.
以B为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则
，，设平面的法向量，
由，得，取，
又，设直线与平面所成的角大小为，
则
即直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点为G，连接，在中，根据勾股定理可得， 因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得， 故 ,
因此平面，
而平面， ∴．
（2）由（1）得，，又平面，
故以C为坐标原点，分别 为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，

则：， ，
设平面的法向量为，则 ，
令，可取，又，
所以与平面所成角的正弦值
．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在直角梯形中，，，，
∴，，从而
又平面平面，且平面平面
∴平面，平面，∴.
又，且，∴平面
（2）取的中点O，连接，
由题设知为等腰直角三角形，
又平面平面，且平面平面，平面
连接，因为M，O分别为和的中点，
由（1）可知，以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为， 则，令，则
设直线与平面所成角为θ，
故直线与平面所成角的正弦值为.

随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C， ∴BC⊥平面PCD，
又∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PD⊥BD，BD∩BC＝B， ∴PD⊥平面BCD；
（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC， ∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，则∠PCD＝60°，
因此， 取BD的中点O，连接OM，OC，
由已知可得OM，OC，OD两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设OB＝1，则P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），
，，．
设平面MCD的一个法向量为，
由，取z，得． ∴cs．

故直线PC与平面MCD所成角的正弦值为．
典例3、答案： （1）证明见解析 （2）.
解： （1）连，交于，则为的中点，连，

因为为的中点，所以， 因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，所以， 所以，
所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取三等分点，

所以，，即 又因为，，，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面， 即平面.
（2）因为为三等分点，所以，
，平面，平面平面，
且平面平面，过点作的垂线交延长线于，如下图所示：

由线面垂直的性质有平面，
所以点到平面的距离为，记，
因为，，，
所以，，，
.
即三棱锥的体积为.
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）1
解：（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，

又因为E为的中点，则， ∵平面EBD，平面EBD，
因此，平面EBD；
（2）在长方体中，平面，
因此，.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）
解：（1）取中点，连接，易得且，又，，
则， 则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面；

（2）取中点，连接，则，又，
则四边形为平行四边形，则，
，又，，则，
又平面，，
则平面，又，，
则.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接交于点，连接，因为为棱柱，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面 所以∥平面..

（2）因为为直棱柱，所以平面，平面， 所以，
又，交于C点， 平面，
所以平面，同理平面，
又平面，所以，
因为，， 平面，
所以平面，平面，所以
在直棱柱中.，则，
所以，则. 所以，
所以
又，平面，
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）4.
解：（1）证明：设与的交点为，连接，
∵是的中点，是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）取的中点，连接，，
直三棱柱中，平面，而平面， 故，
∵为的中点，∴且．
又∵，，， ∴平面，∴平面．
∵， ∴．

典例6、答案：（1）G为中点时，平面平面； （2）
解：（1）G为中点时，平面平面，
理由如下：连接，取的中点，连接，
因为E，F分别是的中点，则，
平面，平面，则平面，
同理可得，平面，平面，则平面，
又，平面，则平面平面；
（2）由F是的中点得，
又，平面，平面，则平面，
又点M是线段上的一个动点，则，
则，则.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，故平面.
（2）因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，，则， 所以，，
平面，，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则.