2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题14（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题14（含解析）-练习，共19页。
典例1、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.
（1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
（2）若，点是的中点，求二面角的正弦值.
随堂练习：如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，
P，D分别为，BC，，的中点.
（1）求证：面；
（2）求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.
典例2、如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，．
（1）求证：平面，且平面．
（2）已知，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

典例3、如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

知识点二 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是 的中点.
（1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．
（1）求证：； （2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求．
典例5、在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．
（1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在中，，，为的中点，，.现将 沿翻折至，得四棱锥.
（1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值
典例6、如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且.
（1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，且，，，点在上．
（1）求证：； （2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．
空间向量和立体几何高考复习专题十四答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为分别是的中点 所以，
又因为平面，平面 所以平面
又平面，平面与平面的交线为， 所以，
而平面，平面， 所以平面
（2）如图，因为是圆的直径，点是的中点，

所以，
因为直线平面 所以
所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则 ，，
所以，
设平面的法向量，则，即
令，则 得
因为直线平面 所以为平面的法向量
所以 所以二面角的正弦值为
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）解法一： 以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
取向量为平面的一个法向量，，
∴， ∴.
又∵平面， ∴平面.
解法二： ∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面， ∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点， ∴，且平面，平面，
∴平面，又， ∴平面平面，
又∵平面PDN， ∴平面.
以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，. ∴，,
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，则，即，
令，则，，则， ∴，
由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为.
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：分别取的中点，连接，

设，则， ，
又平面平面，平面平面平面， 平面，
同理可证平面，，
又因为，所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，平面；
（2）如图，取的中点为，则，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，

则， 则，
设平面的一个法向量为， 则，
令，得平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为， 则，
令，得平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）平面，平面，，
又，，平面，平面；
为等边三角形，，又，，
平面，平面，平面.
平面，平面，；
（2）以为坐标原点，为轴正方向，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
设平面的法向量，
则，令，则，，；
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
（2）取的中点，连接、，
因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，同理可得，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则.
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
随堂练习：答案： （1）见解析；（2）.
解:（1）连接，

，分别为，中点 为的中位线 且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面 平面
（2）设， 由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，

二面角的正弦值为：
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形，∴.
又平面，平面，∴，
∵平面，， ∴平面，
又平面， ∴
（2）易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，∴，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，
则
即直线与平面所成角的正弦值为.

随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：由题意知：， ∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB． 又点C为的中点，所以OC⊥AB，
， 所以AB⊥平面POC， 又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则取，则
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．

典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为，，E为的中点，所以，
所以四边形为长方形，，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面， 平面，所以．
（2）连接，由（1）平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，即，，，
所以，即，
过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向
建立空间直角坐标系，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则， 所以，
设直线PB与平面PAD所成角的为，所以
，
所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7
解:（1）设为的中点，为的中点，，则，
故，则， 又，则，
所以是的角平分线，且三点共线.
由，且,得面，则；
（2）法一：连结. 由平面得，平面平面，交线为，
所以在面上的射影点在上， 为直线与平面所成角.
在中，，由余弦定理得，
，故，，
又，在得，由余弦定理得，则，
所以，
由（1）得为角平分线，
在中，，由余弦定理得，则，
所以，所以直线与平面所成角的正切值为7.

法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系.
，
设，由， 得，
得.,
平面法向量为，设直线与平面所成角为，所以
，,则，
所以直线与平面所成角的正切值为7.

典例6、答案：（1）证明见解析；（2）.
解:（1）取中点，连接，，，所以，
由余弦定理得：，得，
，又，且，则平面，
故，又，所以平面，
则，由等边三角形得，且，
则平面，故， 又，因此.

（2）连接，过点作平面于点，连接，，
由平面得平面平面，则点在平面内的射影位于直线上，
由等边三角形得点在平面内的射影位于的中垂线上，
因此，由几何关系可确定点在平面内的射影位于的重心，
又由（1）知平面，平面，则，，，，五点共面，
如图，以点为原点，以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系Gxyz，
不妨设，则，，，
在和中，由余弦定理得，，
则， 解得，
因此，，，
设平面的法向量， 由得，取，
设直线与平面所成角为，则 ，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）
解:（1）取的中点，连结，则，
所以四边形为平行四边形，，
又，，
又平面，平面，
且，平面，平面
又平面，
（2）以为坐标原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，易得，
设平面的法向量为，，
则，令则．
又平面的法向量为，
由题知，解得，
即， 而是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为， 则．
故直线与平面所成的角的正弦值为．