2023-2024学年山东省泰安市新泰市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】．
故选：C．
2. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
∴只有点在反比例函数图象上．
故选：D．
3. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
在中，
故A、B不符合题意；
在中，，
故C符合题意；
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故D不符合题意；
故选：C．
4. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象与轴的交点坐标是
B. 当时，的值随值的增大而减小
C. 当取和时，所得到的的值相同
D. 当时，有最大值是
【答案】C
【解析】令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故A不符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，随的增大而增大，
故B不符合题意；
当时，，当时，
故C符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，有最小值，
故D不符合题意．
故选：C．
5. 已知三个点在反比例函数的图象上,其中，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小；
∵，∴，
故选：C．
6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ）

A.
B.
C. 的面积是3
D. 点在上，当时，
【答案】D
【解析】∵反比例函数的图象交于点，
∴，故A正确，不符合题意；
∴，
把代入得：，
解得，故B正确，不符合题意；
∵轴，，
∴的面积是，故C正确，不符合题意；
当时，中，y随x的增大而减小，
∴时，，即，故D错误，符合题意．故选：D．
7. 如图,在莲花山滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为（ ）米.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，(米)，
∵，(米)．故选C．
8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知，
由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故应选：C.
9. 函数，，的共同性质是（ ）
A. 它们的图像都经过原点
B. 它们的图像都不经过第二象限
C.在x>0的条件下，y都随x的增大而增大
D.在x>0的条件下，y都随x的增大而减小
【答案】D
【解析】图象不经过原点，A选项不符合题意；
函数，的图象都经过第二象限，B选项不符合题意；
函数， 中，在 x > 0 的条件下，y 都随 x 的增大而减小，C选项不符合题意，
函数，， 中，在 x > 0 的条件下，y 都随 x 的增大而减小，D选项符合题意；
故选D．
10. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（ ）
A. 50米B. 米C. 米D. 100米
【答案】A
【解析】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米.
根据勾股定理可得：x2+(x)2=1002．
解得x=50．
即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．
故选：A．
11. 如图，在中，，，，则的长为( )

A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】过点A作交的延长线于点D，

∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选B．
12. 新定义:在平面直角坐标系中,对于点,当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论：
①点都是点“关联点”；
②若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】，，
点是点的“关联点”，不是点的“关联点”，故①错误，不符合题意；
设直线上的点为，
，
解得：，
点的坐标为，故②正确，符合题意；
设抛物线上的点为，
，
解得：或，
点坐标为，，
抛物线上存在两个点是点的“关联点”，故③正确，符合题意；
综上所述，正确的有：②③，故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 102分）
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13. 若，则锐角_________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为．
14. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．

【答案】20
【解析】设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
15. 如图，在中，，于点D，，，那么_______．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接．若的面积为6，则k的值是______．
【答案】
【解析】连接，由题意可得轴，
∴，
∴，
∴，
又∵函数图象位于第二象限，
∴；
故答案为：．
17. 某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个,通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降_______元．
【答案】5
【解析】设利润为W元，销售单价降价x元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，
∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元，
故答案为：5．
18. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______．

【答案】或
【解析】∵抛物线与直线交于两点，
∴的解集是或，
∴的解集是或，
故答案为：或．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 如图，在中，．

（1）求和的长；
（2）求的值．
解：（1）∵，
∴，．
（2）∵，
∴，
∴．
20. 求二次函数在范围内的最小值和最大值．
解：
抛物线的对称轴为，顶点坐标为
当时，取得最小值；当时，取得最大值．
21. 在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的C处测得电视发射塔顶A的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达D处，在D处测得电视发射塔的底部B的仰角为，如图，若电视发射塔的高度AB为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度（精确到1米）．（参考数据：，）
解：延长交于点，则，设米，
，
在中，
，
，
∴，
在中，
，
，
，
解得（米）
答：小山的铅直高度约为米．
22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
解：（1）将代入，得，
解得，
反比例函数表达式；
在的图象上，
，
解得，
，
将，代入，
得：，
解得：，
一次函数的表达式为．
（2）由（1）知与的图象交于点，，
由图可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
23. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，，从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系,水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，已知水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是．

（1）求二次函数表达式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
解：（1）∵水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是，，
∴抛物线的顶点坐标为，
故设抛物线的解析式为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为．
（2）令得到，
解得（舍去），
故水池的半径至少为1米．
24. 某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
（1）构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
（2）问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
（3）拓展应用：
写出周长m的取值范围．
解：（1）从图①中观察到，交点坐标为，；故答案为：，；
（2）由得，
故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标，
画出直线如下：
，得，
直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或(舍去)；
故答案为：，；
（3）当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，
，
解得或(舍去)，
故周长m的取值范围为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴直线．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
解：（1）设直线的解析式为，
∵直线l与x轴交于点A（6．0），与y轴交于点B（0，－6），
，解得：，
直线的解析式为；
（2）设抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴是直线，
，
抛物线经过点，
∴解得：，
抛物线的解析式为；
（3）∵、，
∴，在中，，
∴，
∵轴，，∴，
在中，∵，，
∴，∴，
在中，，，
，则，
，
，
设点，则，
，
，
当时，有最大值是，此时最大，
的最大值为，
当时，，
的最大值为，此时点．