2024-2025学年山东省泰安市宁阳县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省泰安市宁阳县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题．，四象限各有一个交点，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）．
1. 在中，，，，则等于（ ）
A. 25B. 12C. 9D. 16
【答案】C
【解析】如图，
根据题意得：在中，，
∴，
故选：C．
2. 如图，反比例函数（k是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）

A.
B. 该函数图象经过点1,4
C. 当时，y随x的增大而减小
D. 当，
【答案】D
【解析】A、∵反比例函数的图象经过点，
∴，故该选项不符合题意；
B、当时，，则该函数图象经过点1,4，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可得，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可得，当，，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 已知、、是抛物线上的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的对称轴为直线，且，
∴距离对称轴越远的点的函数值越大，
∵、、是抛物线上的点，
又∵，∴．
故选：D．
4. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
∴，，，
∴，即，
∴是直角三角形，且，，，
∴的正弦值是，
故选：．
5. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、根据反比例函数图形可得，，则，
∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意；
B、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向下，与 轴的交点在 轴上方，原选项不符合题意；
C、根据反比例函数图形可得， ，则 ，
∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意；
D、根据反比例函数图形可得，，则，
∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意；
故选：C．
6. 将抛物线平移，使平移后得到抛物线．则需将原抛物线（ ）
A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
B. 先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
D. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
【答案】D
【解析】抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
所以将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点．
所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线．
故选：D．
7. 如图,在中,，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，
，,，
，，，
在中，，
故选：A．
8. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（ ）
A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m
【答案】C
【解析】把A代入得：
，
∴，
∴，
令得，
解得（舍去）或，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C.
9. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A. 150B. 200C. 250D. 300
【答案】B
【解析】设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故选：B
10. 如图,反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，,,连接，，,记、的面积分别为、.若，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是长方形，，，
∴，，，
∴轴，轴，
∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴的面积为．
故选：B．
11. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）
A. 海里B. 海里
C. 海里D. 海里
【答案】B
【解析】如图，过点作，交的延长线于，则，
由题意可知，，海里 ，
∴海里，，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵ ，
∴，
∴海里，
故选：．
12. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】当时，，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴点，
把点代入中，
得，
∴点，，
∴，
∴①结论正确；
由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，
∴②结论正确；
由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点，
∴方程有两个解，
∴③结论错误；
由图象可知，当，，
∴④结论错误.
故正确的结论有①②，共计2个.
故选：B.
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13. 如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________．
【答案】
【解析】点、关于原点对称，
点的坐标为，
故答案为：．
14. 若，则以为内角的的形状是 ___________．
【答案】直角三角形
【解析】∵，
∴，，
则，，
∴，
∴以为内角的的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
15. 已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）．
【答案】
【解析】当时，函数取得最值10，即抛物线的顶点坐标为，
设，
当时，，
把代入，
得，
，
，
故答案为：．
16. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，线段交反比例函数的图象于点C，，若的面积等于2，则的值等于________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
根据反比例函数k的几何意义得到，
而反比例函数的图象经过第二象限，
∴，
故答案为：．
17. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为______．
【答案】
【解析】在中，，，
∴，
由题意，得：，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
18. 二次函数（a、b、c为常数，）的x与y的部分对应值如下表：
有如下结论：①这个函数的图象开口向下；②；③这个函数的最大值为10；④图象的对称轴为直线；其中结论正确的是________（填序号）
【答案】②④
【解析】将，，代入，
得，，
解得，
∴，故②正确；
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故①错误；
∴有最小值，没有最大值，故③错误；
∵，
∴对称轴为，故④正确；
综上所述，其中结论不正确是②④．
故答案为：②④．
三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
20. 在中，，，为锐角且．
（1）求的面积；
（2）求的值．
解：（1）过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∴的面积为；
（2）∵，，，
∴，
在中，
．
在中，，，
∴．
∴的值为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围．
（3）若P是y轴上一点，且满足的面积是10，请求出点P的坐标．
解：（1）反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式是，
点在反比例函数的图象上，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式是；
（2）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
∴由图象可得当时，自变量x取值范围为或．
（3）如图，

对于一次函数，令求出，即，，
根据题意得：，
解得：，
则或．
∴点P的坐标为或．
22. 某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，每天还要支付其它费用450元，在销售过程中，经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数关系如图所示，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设，
根据题意得，
解得：，，
；
（2）
；
（3），
，
时，有最大值为2000元，
当销售单价为65元时，该公司日获利最大，为2000元．
23. 如图1是位于青岛山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内）；（参考数据：，，）
（1）求C点到地面的距离；
（2）求摩天轮的高度．（结果保留整数）
解：（1）如图，延长交的延长线于点M，于N，
由题意得：，
则，，
在中，，
∴设，，
∴，
解得，
∴，，
答：C点到地面距离为；
（2）由得，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴摩天轮的高度约为．
24. 小云同学根据函数的学习经验，对函数进行探索，已知函数的图象经过点，．
（1）填空：________，________；
（2）补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：________；
①当时，随的增大而增大；
②当时，随的增大而减小；
③函数的图象关于直线轴对称；
④当时，函数值取得最大值3．
（4）过点作直线平行于轴，若直线与函数有两个交点，则的取值范围是________．
解：（1）将代入解析式，
得：，解得：，
将代入解析式，
得：，解得：，
故答案为：；；
（2）由（1）可知，函数解析式为：，
将代入，得：，将代入，得：，填入表格如图所示：
函数图象如图所示：
（3）观察函数图象可知，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故①②正确；
显然，该函数图象不关于直线轴对称；故③错误；
从图中可得，该函数图象在时，存在最高点，即函数有最大值，此时，故④正确；
故答案为：①②④
（4）如图，当直线经过点时，与函数的图象有一个交点，
当直线经过点时，与函数的图象有一个交点，
∴当直线经过这两点之间任意位置时，可满足函数的图象有两个交点，
即：的取值范围是，
故答案为：．
25. 已知关于x的二次函数．
（1）若该函数图象经过．
①求a的值；
②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值及点P的坐标．
（2）在时，该函数的最大值与最小值之差为27，求a的值．
解：（1）①将点代入抛物线表达式得：，
解得；
②设抛物线与轴的另外一个交点为A，
由①知，抛物线表达式为，
令，
解得或1，
∴点，的坐标分别为，1,0，
∴，
令则，
∴C0,6，则，
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，
∴点在函数的对称轴上，
点关于函数对称轴的对称点为点，连接交于点，
∴点为所求，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
当时，
∴点P坐标为-1,1，
∴为最小，
∴的最小值；
（2）∵关于x的二次函数
∴函数的对称轴为直线，
则比距离对称轴远，
当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，
当时，，
当时，，
∴，
解得；
当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值，
，
解得；
∴．
x
0
2
3
4
y
2
2
5
10
…
5
…
…
3
1
…
…
-3
-2
-1
5
…
…
1
3
1
…