2023~2024学年山东省泰安市肥城市九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省泰安市肥城市九年级(上)期中考试数学试卷(解析版)，共18页。
1．本试卷共8页，两个大题22个小题，考试时间100分钟．
2．答题前请将答题纸上的考生信息项目填写清楚，然后将试题答案书写在答题纸的规定位置．
3．请认真书写，规范答题；考试结束，只交答题纸．
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置）
1. 在中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得：，
在中，，
，
故选：A．

2. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点在双曲线上，，
A，，不在此双曲线上；
B，，不在此双曲线上；
C，，不在此双曲线上；
D，，在此双曲线上；
故选D．
3. 已知三点都在反比例函数的图象上,若，则下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，∴反比例函数解析式为，
∵点都在反比例函数的图象上，，
∴，故选：D．
4. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标是D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】∵抛物线，
A、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意；
B、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意；
C、因为顶点坐标是，故说法不正确，符合题意；
D、当时，y随x的增大而增大，故说法正确，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过点作，垂足为．
，，，
，，
．
在中，
．
．
故选：．
6. 如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 80海里
【答案】D
【解析】作于点，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设，则，，，
，
，
，解得，则．
故选：D．
7. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点，在轴上，对角线的延长线交轴于点，连接，若的面积是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
∵四边形为矩形，顶点，在轴上，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵的面积是，
∴，
∴，即，
∵顶点在反比例函数的图像上，
∴，
故选：D．
8. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵二次函数的解析式为：，
∴对称轴为，故A和B错误；
当，一次函数过第一、二、三象限，
二次函数图象开口向上，对称轴为，故C正确，D错误，故选：C．
9. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠得AF=AD=BC=10，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，有AB=8，AF =10，
∴BF==6，
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠EFC=tan∠BAF=．
故选A．
10. 如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有．其中正确的结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】①对称轴在轴左侧，则同号，，故，故错误；
②对称轴为直线，，即，故错误；
③时，，即，故正确；
④时，，为最大值，故，即，故错误；
正确的结论的个数是1个．
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果）
11. 反比例函数，当时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】反比例函数中，，
此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
当时，，
当时，；
当时，．
综上所述，的取值范围是或．
故答案为：或．
12. 如图，在中，，，，于点，则的值为______．

【答案】
【解析】在中，
，，，，
，，，，
，．故答案为：．
13. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点A是A的对应点），用眼舒适度较为理想．此时顶部边缘A处离桌面的高度的长为______．（结果精确到，数据：，，）
【答案】
【解析】∵，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为．
14. 如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】分别过点，，作轴，轴，轴，垂足分别为点B，C，D，
设，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，则，
解得，
，
，
点的坐标为，
设，可求得点的坐标为，
则，
解得，
，
即点的坐标为，
同理可求得点的坐标为，
点的坐标为．
15. 如图，在中，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】如图，
，，
是等边三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线，
、两点关于对称．
作于，交于，连接，此时，最小，
．
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
16. 计算
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 如图,已知在中,,，点D在边上，，连接AD，．
（1）求边长；
（2）求的值．
解：（1）设，
在中，，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
在，，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
（2）如图所示，过点D作于点E，

在中，，
∴，
∵，
由（1）知．
∴，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B与y轴交于点C，且点B的横坐标为．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且，求点D坐标．
解：（1）∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为，
∵横坐标为的点B在反比例函数上，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的坐标为，
∵点A，点B在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）设点D的坐标为，
∵点C是一次函数与y轴的交点，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
解得或，
∴点D的坐标为或．
19. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线方向继续飞行10米至B处，测得河流右岸D处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

解：过点B作于点E，如图：

则四边形是矩形．
∴，
∵，
，
在中，，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
，
∴．
答：河流的宽度约为53米．
20. 如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段向右平移m个单位长度（m>0），得到对应线段，连接、．
①如图2，当时，过D作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值．
②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出求所有满足条件的m的值．
解：（1）∵点在直线上，∴，
∴直线的解析式为，
将点代入直线的解析式中，
∴，∴．
将在反比例函数解析式中，得．
（2）①由（1）知，，
∴反比例函数解析式为，当时，
∴将线段向右平移5个单位长度，得到对应线段，
∴，
∵轴于点F，交反比例函数的图象于点E，
∴，
∴，，
∴．
②∵，，将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，
∴，，，
如图2，是以为腰的等腰三角形，
当时，点C在线段的垂直平分线上，
∴，则；
当时，，
解得，
综上，满足条件的m的值为6或．
21. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是40件，而销售单价每降低2元，每天就可多售出8件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润（元）与降价（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于3200元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
解：（1）由题意得：，
（2）设销售单价为元，
，
，
∴抛物线开口向下，
，对称轴是直线，
当时，y＝3600，
∴销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是3600元；
（3）当时，，
解得：，
∴当时，每天的销售利润不低于3200元，
由每天的总成本不超过7000元，得，
解得：，
，
，
∴销售单价应该控制在75元至90元之间．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
解：（1）设直线l的解析式为，
把A、B两点的坐标代入解析式，得
解得：
∴直线l的解析式为；
（2）设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）∵，，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
由勾股定理得，．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是此时的P点坐标是．
23. 设直线与直线及x轴围成的三角形面积为，求的值．
解：分别令两直线中，
，，
解得：，，
即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，
∴第k个三角形在x轴上这条边的长为，
联立得：，
解得：，
∴两直线的交点坐标为，
∴，
∴．