2023-2024学年山东省泰安市新泰市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市七年级（上）期中数学试卷（五四学制），共20页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每小题4分，共48分）.
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AFB．BHC．CDD．EC
3．（4分）下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ）
A．12B．12或15C．15或18D．15
5．（4分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．6，8，9D．7，24，25
6．（4分）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．HL
7．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”，并给出了另外一个证明，下面四幅图中（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则AC等于（ ）
A．5B．6C．8D．9
9．（4分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝2，则PQ最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
10．（4分）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时（ ）
A．13mB．12mC．15mD．
11．（4分）如图，D，E分别是AB，AC边上的点，若添加下列一个条件后，仍不能证明△BDF≌△CEF的是（ ）
A．AB＝ACB．BF＝CFC．DF＝EFD．∠B＝∠C
12．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，AB＝4，BC＝5，将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，BD为折痕，则下列四个结论：①BD平分∠ABC；③DE＝EC；④△DEC的周长为4（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．（4分）等腰三角形的底角是80°，则它的顶角是 ．
14．（4分）△ABC的三边分别是a、b、c，且满足|a﹣8|+（b﹣6）2＝0，则当c2＝ 时，△ABC是直角三角形．
15．（4分）如图甲，用一块边长为10cm的正方形的厚纸板做了一套七巧板．将七巧板拼成一座桥（如图乙），这座桥的阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，则DN+MN的最小值是 ．
17．（4分）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，那么它爬行的最短路程为 ．
18．（4分）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，若BC＝5，AD＝10，则AB的长是 ．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AC上一点，且AE＝AD，求∠CDE的度数．
21．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，分别交AB，AC于E，再分别以E，F为圆心EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，交CD于点M．
（1）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
22．（12分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E
23．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
25．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，连接BN
（1）求证：AM＝BN；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；
（3）如图4，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．
2023-2024学年山东省泰安市新泰市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的高线的定义解答．
解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
3．【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．
解：根据轴对称的性质，结合四个选项，所以B是符合要求的．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键．
4．【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．
解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+6＝15；
②当腰为3时，3+6＝6；
∴此等腰三角形的周长是15．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．
5．【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
解：A、12+52≠38，不是勾股数，不符合题意；
B、42+62≠62，不是勾股数，不符合题意；
C、62+42≠93，不是勾股数，不符合题意；
D、72+245＝252，能构成直角三角形，是正整数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
6．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
7．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：2+b2，
∴a8+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b3＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是6个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a7+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）5；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a3+b2+2ab，
∴（a+b）3＝a2+b2+8ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
8．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD＝AD，再根据等边对等角求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE＝CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，即可得解．
解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴DE＝CD＝3，
又∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AD＝4DE＝2×3＝7，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
9．【分析】当PQ⊥OM时，PQ的值最小，由角平分线的性质得到PQ＝PA＝2，因此PQ的最小值是2．
解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
∴PQ＝PA＝2，
∴PQ的最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，关键是由角平分线的性质得到PQ＝PA＝2．
10．【分析】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：设梯子的长度为x m，
根据勾股定理得，52+（x﹣3）2＝x2，
解得x＝13，
答：梯子的长度为13m，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．【分析】结合已知，利用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
解：∵∠BDC＝∠CEB，
∴∠ADC＝∠AEB，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
A、在△BDF与△CEF中，
，
∴△BDC≌△CEB（AAS），不符合题意；
B、在△BDF与△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），不符合题意；
C、在△BDF与△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（SAS），不符合题意；
D、结合已知只能得到角相等，所以不能够证明全等．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的证明；解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法，注意证明全等至少有一对边相等．
12．【分析】利用翻折不变性可知AD＝DE，AB＝BE，由此即可解决问题．
解：∵△BDE是由△BDA翻折得到，
∴∠ABD＝∠EBD，AD＝DE，⑦正确；
∴BD平分∠ABC，①正确；
∵BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
∴△DEC的周长＝EC+DE+CD＝EC+AD+CD＝CE+AC＝1+8＝4，④正确；
∵∠DEC＝90°，∠C≠45°，
∴DE≠EC，③错误，
∴①②④正确，
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数．
解：∵等腰三角形的一个底角为80°
∴顶角＝180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：20°．
【点评】考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
14．【分析】根据非负性得出a＝8，b＝6，再根据勾股定理解答即可．
解：根据题意可得：a﹣8＝0，b﹣6＝0，
解得：a＝8，b＝4，
所以当△ABC是直角三角形时，c2＝a2+b7＝62+22＝100或c2＝a4﹣b2＝84﹣62＝28，
故答案为：100或28．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．【分析】观察分析阴影部分与整体的位置关系；易得阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，进而可得阴影部分的面积．
解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，
则阴影部分的面积为10×10÷2＝50cm2．
故答案为：50cm2．
【点评】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．
16．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣3＝6，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
17．【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，由于AC＝24，CB′＝7，然后利用勾股定理计算出AB′即可．
解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，如图，
AC＝24，CB′＝7，
在Rt△ACB′，AB′＝，
所以它爬行的最短路程为25cm．
故答案为：25cm．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
18．【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．
解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝65°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝25°．
解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
21．【分析】（1）根据AB∥CD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
（2）根据∠CAM＝∠MAB，∠MAB＝∠CMA，得出∠CAM＝∠CMA，再根据CN⊥AD，CN＝CN，即可得出△ACN≌△MCN．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°；
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB＝∠CMA，
∴∠CAM＝∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC＝∠MNC，
在△ACN和△MCN中，，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，用到的知识点是全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是证出∠CAM＝∠CMA．
22．【分析】根据折叠，可知AB＝AD，ED＝EC，进一步可知∠ADE＝90°，设AE＝x，在Rt△ADE中，根据勾股定理列方程，求解即可．
解：根据折叠，可知AB＝AD，∠ADB＝∠B，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
设AE＝x，
∵AB＝2，AC＝3，
∴AD＝6，CE＝3﹣x，
∴ED＝3﹣x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理7+（3﹣x）2＝x4，
解得 ，
所以，AE的长为 ．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
24．【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
∴AB＝8AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．
25．【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA＝∠MPN＝60°，AB＝BP＝AP，PM＝PN＝MN，进而就可以得出△APM≌△PBN，得出结论；
（2）由（1）中的方法证得△APM≌△PBN，得出图2中，BN＝AB+BM；得出图3中，BN＝BM﹣AB；
（3）由等边三角形的性质得出∠ABP＝∠PMN＝60°，就可以得出∠PBM＝120°，求得∠BMP＝30°，进而就可以得出∠BMN＝90°，得出结论．
【解答】（1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA＝∠MPN＝60°，AB＝BP＝AP，
∴∠BPA﹣∠MPB＝∠MPN﹣∠MPB，
∴∠APM＝∠BPN．
在△APM≌△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（SAS），
∴AM＝BN．
（2）解：图2中BN＝AB+BM；
图3中BN＝BM﹣AB．
（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP＝∠PMN＝60°，AB＝PB，
∴∠PBM＝120°，
∵BM＝AB＝PB，
∴∠BMP＝30°，
∴∠BMN＝∠PMN+∠BMP＝90°，
∴MN⊥AB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．