人教版数学七年级上册期末拓展训练专题1.4一元一次方程及解法十大核心考点精讲精练（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1. 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，方程两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．
2. 一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3.等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
4.解一元一次方程的一般步骤：
去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边；
合并同类项：把含有未知数的项系数进行运算，把已知项进行运运算；
系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2019秋•浠水县校级期末模拟）若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．
【变式1.1】（2022秋•东西湖区期中）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2B．x+2y＝8C．3+5＝8D．2x﹣1＝3x+5
【变式1.2】（2022秋•建湖县期中）方程：①2x+y＝0； ②2；③5+2x＝4；④x＝3，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.3】（2022春•黔江区校级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．0或2
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2019秋•曲阳县期末）一系列方程，第1个方程是x3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程是 ，解为 ．
【变式2.1】（2022秋•天山区校级期中）已知x＝2是方程3x﹣5＝m的解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【变式2.2】（2022秋•渝北区校级期中）若关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，那么满足条件的所有整数k的和为（ ）
A．20B．6C．4D．2
【变式2.3】（2022秋•高邮市期中）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．y＝1B．y＝﹣2C．y＝﹣3D．y＝﹣4
【考点3】等式的性质
【例3】（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3.1】（2022秋•洪山区期中）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．若﹣m＝﹣n，则m＝nB．若b＝c，则
C．若ab＝ac，则b＝cD．若|x|m＝|x|n，则m＝n
【变式3.2】（2022秋•安徽期中）下列等式变形错误的是（ ）
A．若x＝y，则x﹣5＝y﹣5B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y
C．若，则x＝yD．若mx＝my，则x＝y
【变式3.3】（2022秋•丹江口市期中）已知m＝n，则下列变形中正确的个数为（ ）
①m+2＝n+2；②am＝an；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2019秋•嘉祥县期末）2x﹣1与﹣x+2互为相反数，那么x的值是 ．
【变式4.1】解下列方程：
（1）2x﹣3＝x+1；
（2）4m＝7；
（3）2x﹣19＝7x+6；
（4）x﹣2x．
【变式4.2】（2020秋•兰州期末）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【变式4.3】（2020秋•南充期末）已知m＝2x+1，n＝8﹣x．
（1）若m＝n，求x的值．
（2）若m＝﹣n，求x的值．
（3）直接写出x为何值时，m＝|n|？
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x[x（x﹣1）]（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1）．
【变式5.1】（2021秋•大石桥市期中）解方程：
（1）2x+3＝11﹣6x；
（2）（3x﹣6）x﹣3．
【变式5.2】（2020秋•丹徒区月考）设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：ad﹣bc，那么当7时，x的值是多少？
【变式5.3】（2018秋•芜湖期末）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）＝m（1+x）的解大2．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】老师在黑板上出了一道解方程的题：1，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第 步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
1
【变式6.1】（2021秋•高青县期末）解方程：
（1）2（x﹣3）＝﹣3（x﹣1）+2．
（2）3．
【变式6.2】（2020秋•姜堰区期末）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“﹣1”这一项乘公分母6，求出方程的解为．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
【变式6.3】（2022秋•香坊区校级期中）解方程：
（1）2x+1＝5x﹣7；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式7.1】（2022•南京模拟）解方程：
（1）1﹣3（x﹣2）＝4；
（2）；
（3）；
（4）3|x﹣1|﹣7＝2．
【变式7.2】（2020秋•奉化区校级期末）解方程：
（1）x﹣3x﹣4；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）1；
（4）|x﹣2|＝5．
【变式7.3】（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：|x﹣5|＝2．
解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；
当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．
所以原方程的解是x＝7或x＝3．
（1）解方程：|2x+1|＝7．
（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．
①若方程无解，则m的取值范围是 ；
②若方程只有一个解，则m的值为 ；
③若方程有两个解，则m的取值范围是 ．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x）]＝4x和1有相同的解，求这个解．
【变式8.1】（2022秋•香坊区校级月考）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，求a2+2a+1的值．
【变式8.2】（2022秋•南岗区校级月考）若方程2x﹣5＝x﹣2与的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．
【变式8.3】（2022春•朝阳区期中）若关于x的方程2x+5＝a的解和关于x的方程与的解相同，求字母a的值，并写出方程的解．
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋•东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为 ．
【变式9.1】（2021秋•龙泉驿区校级期末）甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
A：设：
B：（画出线段图）
C：列方程
【变式9.2】（2021秋•东城区期末）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为 （用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为 （用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 ．
【变式9.3】（2021秋•沈北新区期末）“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2019秋•邗江区校级期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．
如1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若（a﹣1）⊗3＝32，求a的值；
（3）若m＝2⊗x，n＝（x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【变式10.1】（2019秋•亭湖区校级月考）规定新运算符号*的运算过程为，则
（1）求5*（﹣5）；
（2）解方程2*（2*x）＝1*x．
【变式10.2】（2020秋•金湖县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．
（1）求（﹣5）*3的值；
（2）若（）*6＝3，求a的值．
【变式10.3】（2021秋•吴兴区期末）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”．
（1）试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”；
（2）若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小．