2024年广东省深圳市南山区联鹏学校中考一模数学试题 （含答案）

这是一份2024年广东省深圳市南山区联鹏学校中考一模数学试题 （含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C．D．
3．是方程的根，则式子的值为（ ）
A．2008B．2009C．2010D．2011
4．估计的值在（ ）
A．7到8之间B．6到7之间C．5到6之间D．4到5之间
5．如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( )
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）
A．4mB．6mC．8mD．12m
8．若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
9．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题
11．若，则 ．
12．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
13．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是中国劳动人民智慧的结晶．它由如左图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右图是用左图中的3块拼成的小船．若左图中正方形的面积为4，则右图中小船的面积为 ．

14．如图，三棱柱的底面边长都为2 cm，侧棱长为5 cm，则这个三棱柱的侧面展开图的面积为 ．
15．如图，在四边形中，，平分，且，点P为边中点，，则的面积为 ．

三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了 名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
(4)若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
19．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
20．某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
(1)降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示）
(2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？
21．随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少（），该型号汽车刹车时速度为（），刹车后速度（）、行驶的距离为（）与时间（）之间的关系如下表：
(1)求与的函数关系式；
(2)与满足函数关系式，求该汽车刹车后行驶的最大距离；
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（），，一个普通司机驾驶该型汽车以（）的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到以下？请通过计算说明．
22．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）① 如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
② 如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，直接写出DE的长．
答案
一、单选题
1．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据从正面看和从上面看得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：该几何体的主视图和俯视图为：
故选B．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意存在看不见的用虚线表示．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据根式的性质及同底数幂乘除法法则直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A不符合题意，
，故B不符合题意，
，故C不符合题意，
，故D不符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查根式的性质及同底数幂乘除法法则，解题的关键是熟练掌握，，．
3．是方程的根，则式子的值为（ ）
A．2008B．2009C．2010D．2011
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，将化为，两次整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故选：C．
4．估计的值在（ ）
A．7到8之间B．6到7之间C．5到6之间D．4到5之间
【答案】B
【分析】估算的大小即可．
【详解】解：由于，而，即67，
所以的值在6和7之间，
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提．
5．如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理求出BC=4，再利用等积法求得AE=，再利用勾股定理结合垂直平分线的性质得到DB的值，利用三角形面积公式计算即可.
【详解】解:在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC= ，
又∵AE垂直平分DC，
∴ ，
∴AE= ，
∴CE= ,
∴CD=2CE= ，
∴DB=CB-CD= ，
∴,
故选择C.
【点睛】本题考查勾股定理的应用：①在直角三角形中已知两边求出第三边；②利用勾股定理作为等量关系列方程.
7．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）
A．4mB．6mC．8mD．12m
【答案】C
【详解】试题分析：栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题：
设长臂端点升高x m，
则，
∴x=8．
故选C．
考点：相似三角形的应用．
8．若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【详解】解：因为一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
所以方程无解，
原方程可整理为，
则，
即，
设，
结合函数图象得，
所以四个选项中的C选项符合题意．
故选：C．
9．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．
延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，设，可得，根据勾股定理求出，进一步得出，再根据求出即可得出结论．
【详解】解：延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，
则四边形均为矩形，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，或(不符合题意，舍去)，
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．若，则 ．
【答案】
【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．
12．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
【详解】设两个红球分别为A，B，黑球为C，白球为D，根据题意，画树状图如下：
．
一共有12种等可能性，其中，一红一黑等可能性有4种．
故摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为．
13．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是中国劳动人民智慧的结晶．它由如左图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右图是用左图中的3块拼成的小船．若左图中正方形的面积为4，则右图中小船的面积为 ．

【答案】
【分析】根据七巧板的特点进行求解即可．
【详解】解：由七巧板的特点可知①的面积是正方形的面积的，⑤的面积是是正方形的面积的，⑥的面积是正方形的面积的，
∴小船的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，熟知各个图形在正方形中的占比是解题的关键．
14．如图，三棱柱的底面边长都为2 cm，侧棱长为5 cm，则这个三棱柱的侧面展开图的面积为 ．
【答案】30 cm2
【详解】三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为2×3=6，宽为5，所以面积为6×5=30.
故答案为30.
15．如图，在四边形中，，平分，且，点P为边中点，，则的面积为 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点D作于E，由角平分线的性质得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，平分，，
∴，
∵，点P为边中点，，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的矩形相等是解题的关键．
三、解答题
16．计算：．
【答案】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数运算，准确记忆特殊角的三角函数值、正确化简各数是解题关键．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后再结合条件整体代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，注意基本运算顺序是解题关键．
18．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了 名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
(4)若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)108°
(4)600名
【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形；
（3）乘以样本中人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以类活动的百分比即可．
【详解】（1）本次共调查的学生有（名；
故答案为：100；
（2）对应人数为（名，
补全条形图如下：

（3），
类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）（名，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
（1）连接、、，根据切线的判定即可证明；
（2）过点作，交于点，由于，，从而可得：，，根据勾股定理以及平行四边形的性质即可求出的长度．
【详解】（1）解：连接、、，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）过点作，交于点，
的边为直径的恰为的外接圆，
，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理可知：，
．
20．某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
(1)降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示）
(2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？
【答案】(1)
(2)每件玩具应降价元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键．
（1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解．
（2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程．
【详解】（1）解：每件玩具降价x元，
每件玩具的利润为元，销量为件．
故答案为：；．
（2）（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
．
答：每件玩具应降价元．
21．随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少（），该型号汽车刹车时速度为（），刹车后速度（）、行驶的距离为（）与时间（）之间的关系如下表：
(1)求与的函数关系式；
(2)与满足函数关系式，求该汽车刹车后行驶的最大距离；
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（），，一个普通司机驾驶该型汽车以（）的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到以下？请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3)不能在到达窄路时将车速降低到以下
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；
（1）根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先待定系数法求出解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论得出的函数关系式，当时，求得汽车刹车后行驶的最大距离，进而结合题意求得刹车后行驶的距离，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，
将代入得，
解得：
∴与的函数关系式为
（2）解：将代入，
∴
解得：
∴
∴当时，取得最大值，即该汽车刹车后行驶的最大距离为米；
（3）解：依题意，，
∴
∵
当时，（米）
∴
∵
当时，，
从发现情况到刹车的反应时间是（），，
∴最少行驶时间为，
刹车后行驶的距离为（米）
当
则（米）
∵
∴不能在到达窄路时将车速降低到以下
22．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）① 如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
② 如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，直接写出DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，见解析；（2）DE＝
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，，BE=DG，求出，根据SAS推出，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可得到答案；
②根据旋转的性质做辅助线，得出AE=AG，，，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可得到结果；
（2）同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出AF=AE，，，求出，证明，根据全等得出DF=DE，设，则，，根据勾股定理得出方程，求解即可；
【详解】解：（1）①EF＝BE+DF；
如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，，BE=DG，，
∵，
∴，
∴F、D、G共线，
∵，，
∴，
∴，
即，
在△EAF和△GAF中，
，
∴，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴，
故答案是EF＝BE+DF；
②成立；
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）△ABC中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF=AE，，，
∵，
∴，
，
∴，
在△FAD和△EAD中，
，
∴，
∴DF=DE，
设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
，
解得：；
即DE＝．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理的证明，准确分析计算是解题的关键．