2024年广东省深圳市南山区中考三模数学试题

这是一份2024年广东省深圳市南山区中考三模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．“学而不思则罔，思而不学则殆”体现了学习和思考的重要性．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在原正方体中与“学”字相对面上的字是（ ）
A．不B．思C．则D．罔
2．在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段BC长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列命题不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．正八边形的每个外角都等于45°D．关于原点对称的点的坐标为
7．“计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，是的高，是的中点，交于于．若则的长为( )

A．B．C．D．
二、填空题
11．若，则 ．
12．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共32个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中白球的个数最有可能是 个．
13．如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ．
14．如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ．
15．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是对角线上一点，与关于直线对称，交于点，当中有一个内角为时，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：
．
17．先化简，再求值：，其中．
18．我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人；
(2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
(3)该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人；
(4)小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．
19．如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
20．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
21．【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
22．如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．

(1)问题解决：①写出与的数量关系：________；
② 的值为 ________；
(2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求 的值．
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…
参考答案：
1．C
【分析】根据正方体及其表面展开图的特点进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，在原正方体中与“学”字相对面上的字是“则”，
故选：C．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据勾股定理求出的值，再根据正切定义解答即可．
本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握勾股定理，正切定义，是解决问题的关键．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
3．A
【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可．
【详解】解：如图，
由题意，，，，
∴，又，
∴，则，
故选：D．
5．C
【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项分别进行判断即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；


，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据菱形的判定，全等三角形的判定，正多边形的性质，点关于原点对称的特征，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确，不符合题意；
B、有两边和及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项错误，符合题意；
C、正八边形的每个外角都等于，故本选项正确，不符合题意；
D、关于原点对称的点的坐标为，故本选项正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定，正多边形的性质，点关于原点对称的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，结合已知逐一计算判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴,，
∴，
无法证明，
故A正确，不符合题意；
B正确，不符合题意；
D正确，不符合题意；
C错误，符合题意；
故选C．
8．A
【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限，
∴，
∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限，
符合的图象为A，
故选A．
9．D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据实际情况分情况讨论是解题的关键．根据点的位置分两种情况讨论，当点在上运动时，求得与之间函数解析式，当点在上运动时，求得与之间函数解析式，最后根据分段函数的图象进行判断即可．
【详解】解：由题得，点移动的路程为，点移动的路程为，，，
①如图，当点在上运动时，过点作于，
则，，，
的面积，
即当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A、B排除；
②如图，当点在上运动时，过点作于，
则，，，
的面积，
即当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而D正确；
故选：D．
10．C
【分析】延长BC交FE的延长线于点H，推出，通过证明，得出，继而得出，再证明，得出，再证明，从而得出答案．
【详解】解：延长BC交FE的延长线于点H，

∵
∴
∴
∴
∵是CD的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．
11．1
【分析】根据，则a=2b，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴a=2b，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式化简求值，根据已知条件得出a=2b是解题的关键．
12．24
【分析】根据白球出现的频率和球的总数，可以计算出白球的个数．
【详解】解：由题意可得，（个），
即袋子中红球的个数最有可能是24个，
故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出白球的个数是解答本题的关键．
13．52
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，，连接，由切线的性质得到，由四边形内角和定理得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解；如图所示，连接，
∵分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键．
如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值．
【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为，
当时，，
解得，，
∴，
设，，
∴，
整理得，，
联立得，，整理得，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
因为四边形是矩形，所以，，，因为，所以，，因为点是的中点，所以，当中有一个内角为时，分两种情况：①当时，则，四边形是矩形，所以；②当时，则，所以，，，由折叠的性质得：，所以，；综上所述，的长为或 ．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
当中有一个内角为时，分两种情况：
当时，如图1所示：
则，四边形是矩形，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
故答案为或．
16．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答．
【详解】
，
当时，原式．
18．(1)
(2)，见解析
(3)约人
(4)
【分析】（1）根据最喜爱国画的人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；
（2）用度乘以合唱的人数占比即可求出合唱所对应的圆心角度数；根据（）所求，求出水彩画的人数即可补全统计图；
（3）用乘以书法所占样本的比即可得解；
（4）先列表到所有的等可能性的结果数，再找到小明和小华所选的课程恰好相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可
【详解】（1）解：人，
∴本次被调查的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：，
∴合唱所对应的圆心角的度数为；
水彩画学生人数为人，
补全统计图如下：
（3）解：书法的人数为：（人）；
（4）解：列表如下：
由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种，
∴小明和小华所选的课程恰好相同的的概率是．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图掌握树状图或列表法求解概率是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线定理，垂直的意义和平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：的半径为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20．(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元
(2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用．
（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可；
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
21．任务1：；任务2：；任务3：
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键．
任务1：设抛物线的表达式为：，由待定系数法即可求解；
任务2：由得：，代入即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：，当和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：任务1：设函数表达式为：，
将原点代入上式，
解得：，
则．
任务2：由，得，
将代入，得．
令，
解得（舍去）或，
即水火箭飞行的水平距离为；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时的函数表达式为：，
当时，，
解得，
当时，
，
解得，即，
故发射台PQ高度范围为．
22．(1)①；②1．
(2)
(3)
【分析】（1）根据证明，则可得，再证明四边形是平行四边形，则可得，进而可得，即可求解．
（2）作于M，先证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，由此可得，由可得．
（3）过点C作，交的延长线于点M，过点B作，连接，
根据证明，则可得，再证，则可得，由此得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的长，进而求出的长，由此可得的值．
【详解】（1）
①证明：∵四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
故答案为：．
②结论：．
理由：，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴；
（2）
．
理由：如图2，作于M．

，
，
，，
，
，
∴，
，
∴四边形是矩形，
，
∴，
∵（k为常数），
∴．
（3）
如图③，过点C作，交的延长线于点M，过点B作，连接，

，，，
∴四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），或，
，
由（2）的结论可知：．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．