2023年广东省深圳市龙岗区鹏达学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市龙岗区鹏达学校中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  面积是的正方形的边长是(    )

A. 整数 B. 无理数 C. 有理数 D. 分数

3.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  估计的算术平方根介于(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

5.  如图，、相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  为测楼房的高，在距楼房米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  如图，一个均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是(    )

 

A. 转动转盘后，出现偶数 B. 转动转盘后，出现能被整除的数
C. 转动转盘后，出现比大的数 D. 转动转盘后，出现能被整除的数

8.  如图，在中，在、上分别截取，，使再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  设备每年都需要检修，该设备使用年数单位：年，为正整数且与每年至第年该设备检修支出的费用总和单位：万元满足关系式，结论正确的是(    )

A. 从第年起，每年的检修费用比上一年增加万元
B. 从第年起，每年的检修费用比上一年减少万元
C. 第年至第年平均每年的检修费用为万元
D. 第年至第年平均每年的检修费用为万元

10.  如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是______ ．

13.  “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用例如古典园林中的门洞如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______
 

14.  由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值始终保持，发现通过滑动变阻器的电流与滑动变阻器的电阻成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是______ ．

15.  如图，正方形和，，，连接，若绕点旋转，当最大时，______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算．
解不等式组．

17.  本小题分
先化简：，然后从，，中选一个合适的数代入求值．

18.  本小题分
某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：

丙家民宿“综合满意度”评分：

甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的值是______ ，的值是______ ；
设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系；
根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由至少从两个方面说明．

19.  本小题分
如图，是的外接圆，是直径，，连接，，与相交于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

20.  本小题分
临近期末，某文具店需要购进一批涂卡铅笔和黑色水笔，已知用元购进铅笔与用元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高元．
求这两种笔每支的进价分别是多少元？
该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的倍还多支，且两种笔的总数量不超过支，售价见店内海报如下所示该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？

21.  本小题分
单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”图为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如下：

根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度与时间均满足其中为常数，表示重力加速度，取，运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？

 

22.  本小题分
我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．
概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如______ 是等邻角四边形；
问题探究：
如图，在等邻角四边形中，，，的垂直平分线恰好交于边上一点，连接，，试探究与的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
如图，在与中，，，，将绕着点顺时针旋转角得到如图，当四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的三视图及由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据主视图的定义判断即可．
【解答】
解：主视图是从正面看得到的图形，应该是选项B，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：正方形的面积是，
正方形的边长为，
是无理数，
故选：．
根据正方形的边长是面积的算术平方根即可得到正确解答．
本题考查了正方形的面积，无理数的概念，求一个数的算术平方根，理解无理数的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
运用算术平方根的知识进行估算．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的中位线，
，
，
∽，
：：，
即，
解得．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，有，．
．
故选A．
利用所给角的正切定义即可求解．
本题考查解直角三角形的应用，比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图知：频率逐渐稳定在，
所以实验的概率为，
A、转动转盘，出现偶数的概率为，不符合题意；
B、转动转盘后出现能被整除的数为，，，概率为，符合题意；
C、转动转盘，出现比大的数为，，，，概率为，不符合题意；
D、转动转盘后，出现能被整除的数为和，概率为，不符合题意．
故选：．
首先根据图确定实验的概率，然后确定答案即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是根据图确定事件发生的概率，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．依据等腰三角形的性质，即可得到，进而得出结论．
【解答】
解：由题可得，平分，
又，
是三角形的中线，
，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
A、，第年比第年的检修费用比上一年增加万元，不符合题意；
B、，应该是“从第年起，每年的检修费用比上一年增加万元”，不符合题意；
C、，第年至第年平均每年的检修费用为万元，不符合题意；
D、，第年至第年平均每年的检修费用为万元，符合题意．
故选：．
分别取、、、、，求得相应的值；然后根据选项进行相应的解答．
本题主要考查了一次函数的应用，难度不大，代入求值即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于一点，连接，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
的周长，此时的周长最小，
正方形的边长为，
，，
点在上且，
，
，
的周长，
故选：．
连接交于一点，连接，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出即可得到答案．
连接交于点时的周长有最小值，这是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：列表如下：

所有等可能的情况有种，其中至少有一个灯泡发光的情况有种，
至少有一个灯泡发光的概率是，
故答案为：．
根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，

由题意可知，，，
中，，，
所以，
解得．
故答案为：．
设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可．
本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
将点代入，得，
故百分率函数解析式为；
电流不超过安培，
则，
，故滑动变阻器阻值的范围是．
故答案为：．
设反比例函数解析式为，将点代入，求得百分率函数解析式为；解不等式即可得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，如图所示：
，
当绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
过作于，由题意得绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，则，再由勾股定理求出，然后证≌，得，最后由三角形面积公式求解即可．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明≌是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
解：，
解得，
解得．
则不等式组的解集是：． 

【解析】利用绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值和负指数幂的定义来进行化简，得出答案．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查实数混合运算和解一元一次不等式组，解题关键是熟知绝对值、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值定义，及解不等式的方法．
 

17.【答案】解：



，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：甲家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，，
，
丙家民宿“综合满意度”评分：，，，，，，，，，，
从小到大排列为：．
中位数，
故答案为：，；
根据折线统计图可知，乙的评分数据在分与分之间波动，甲的数据在分和分之间波动，
根据丙的数据可以在至分之间波动，
；
推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可．
根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，求得平均数，将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
根据数据的波动范围即可求解：
根据平均数与方差两方面分析即可求解．
本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：，
，
，
是直径，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，
设半径为，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得或舍去，
即半径为． 

【解析】根据垂直、平角的定义可得，进而得到即可；
根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到，再根据锐角三角函数可得，在中由勾股定理可求半径．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
 

20.【答案】解：设每支黑色水笔的进价为元，则每支涂卡铅笔的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每支涂卡铅笔的进价为元，每支黑色水笔的进价为元．
设购进支涂卡铅笔，则购进支黑色水笔，
依题意得：，
解得：．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：该商店应购进支涂卡铅笔，支黑色水笔才能使利润最大，最大利润是元． 

【解析】设每支黑色水笔的进价为元，则每支涂卡铅笔的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进铅笔与用元购进水笔的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每支黑色水笔的进价，再将其代入中即可求出每支涂卡铅笔的进价；
设购进支涂卡铅笔，则购进支黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过支，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每支笔的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

21.【答案】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
即，，
即该运动员铅垂高度的最大值为；
把点代入得：，
解得：，
满足的函数关系式为；
当时，，
该运动员的成绩不达标；
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
该运动员从起跳到落地所用时间为，
运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留秒钟，
该运动员从起跳到落地不能完成动作． 

【解析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解；
把代入中解析式，即可求解；
分别把和代入，求出的值，即可求解．
本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
 

22.【答案】直角梯形或矩形或正方形答案不唯一 

【解析】解：直角梯形或矩形或正方形；
故答案为：直角梯形或矩形或正方形答案不唯一；
，理由为：
连接，，如图所示：

是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，，
，，即，
，
≌，
；
分两种情况考虑：
当时，延长，交于点，
如图所示，

，
，
设，
由勾股定理得：，
解得：，
过点作于，
，
∽，
，即，
解得：，
；，
则；
当时，过点作于点，
如图所示，

四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，，
则．
综上所述，为或．
直角梯形或矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
，理由为：连接，，如图所示，根据、分别为、的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
分两种情况考虑：当时，延长，交于点，如图所示，由，求出四边形面积；当时，过点作于点，如图所示，由，求出四边形面积即可．
此题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．