沪教版数学七年级下学期期末精选60题（压轴版）（2份，原卷版+解析版）

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一．近似数和有效数字（共2小题）
1．（2008春•崇明县期末）如图，某花坛由四个半圆和一个正方形组成，已知正方形的面积为16cm2，求该花坛的周长．（π＝3.1415，计算结果保留三个有效数字）
【分析】先利用面积求出正方形的边长，再根据四个半圆正好是两个圆，利用圆的周长公式计算即可．
【解答】解：因为正方形ABCD的面积是16cm2，
所以正方形ABCD的边长是4cm（1分），
所以半圆的半径r是2cm（1分），
花坛的周长＝2×2πr（1分）
＝2×2×3.1415×2（1分）
＝25.132
≈25.1．（1分）
答：该花坛的周长约是25.1cm．（1分）
【点评】本题考查了圆的周长公式以及近似数与有效数字，需要熟记有效数字的计算方法：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
2．（2009秋•浦东新区期末）1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．
所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒 3.1 千米．
（1）现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？
（2）写出你的计算过程．（结果保留一位小数）
【分析】我们用卫星到地球的距离加上地球的半径，运用圆的周长公式求出卫星绕地球一周的路程，然后除以飞行一圈的时间就是卫星在轨道上的绕行速度．
【解答】解：3.14×（36000+6400）×2÷（3600×24），
＝3.14×（36000+6400）×2÷3600÷24，
＝3.14×42400×2÷3600÷24，
＝266272÷3600÷24，
＝73.96444÷24，
＝3.081，
≈3.1（千米）；
答：卫星在轨道上的绕行速度约为每秒3.1千米．
故答案为3.1．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确．本题是一道简单的行程问题，计算的过程难一点，数值较大，易出错．
二．立方根（共1小题）
3．（2016春•闵行区期末）解方程：（）3＝﹣512．
【分析】利用立方根定义求出解即可．
【解答】解：（）3＝﹣512，
＝﹣8，
x＝﹣32．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
三．实数的运算（共2小题）
4．（2013春•闵行区期末）计算：（2）+（0.125）﹣（）9÷（）7．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝+﹣3＝+﹣3＝﹣1.9．
【点评】此题考查了实数的运算，以及分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2015春•闵行区期末）利用分数指数幂计算：÷×．（结果用根式的形式表示）
【分析】此题涉及分数指数幂、同底数幂的乘法运算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【解答】解：÷×
＝÷×
＝×
＝
＝
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握分数指数幂、同底数幂的乘法运算．
四．分数指数幂（共3小题）
6．（2021春•奉贤区期末）利用幂的性质进行计算（写出计算过程）：．
【分析】先把开方运算表示成分数指数幂的形式，再根据同底数乘法、除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝22＝4．
【点评】本题考查了分数指数幂．解题的关键是知道开方和分数指数幂之间的关系．
7．（2018春•虹口区期末）利用幂的运算性质计算：．
【分析】先都化成底数为2的幂的乘方的形式，再根据同底数幂的乘法或除法进行计算即可．
【解答】解：原式＝（22）×（23）÷2
＝2×2÷2
＝2
＝22
＝4．
【点评】本题考查了分数指数幂，幂的乘方＝和积的乘方，关键是化成同底数幂的乘法或除法，题目比较哈珀，但是有一定的难度．
8．（2018春•闵行区期末）计算：（5﹣3）（5+3）
【分析】直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
五．坐标与图形性质（共3小题）
9．（2015春•奉贤区期末）如图为风筝的图案，若原点用字母O来表示，
（1）写出图中A、B、C的坐标；
（2）试求“风筝”ABCD的面积．
【分析】（1）直接利用坐标系分别得出各点坐标即可；
（2）直接利用三角形面积求法得出“风筝”ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：A（0，3）、B（﹣2，1）、C（2，1）；
（2）“风筝”ABCD的面积为：2×（×2×6）＝12．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质以及四边形面积求法，正确得出各点坐标是解题关键．
10．（2021春•官渡区期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 （2，0） ；A点的坐标为 （0，4） ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值即可；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴，，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键值作辅助线构造平行线．解题时注意：任意一个数的绝对值都是非负数，算术平方根具有非负性，非负数之和等于0时，各项都等于0．
11．（2016春•浦东新区期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B的横坐标是2，△AOB的面积为12．
（1）求点B的坐标；
（2）如果P是直角坐标平面内的点，那么点P在什么位置时，S△AOP＝2S△AOB？
【分析】（1）设点B的纵坐标为y，根据△AOB的面积为12列等式求出y的值，写出点B的坐标；
（2）设点P的纵坐标为h，先求出△AOP的面积，再列等式求出h的值，因为横坐标没有说明，所以点P在直线y＝6或直线y＝﹣6上．
【解答】解：（1）设点B的纵坐标为y，
因为A（8，0），所以OA＝8，
则S△AOB＝OA•|y|＝12，
∴y＝±3，
∴点B的坐标为（2，3）或（2，﹣3）；
（2）设点P的纵坐标为h，
S△AOP＝2S△AOB＝2×12＝24，
∴OA•|h|＝24，
×8|h|＝24，
h＝±6，
所以点P在直线y＝6或直线y＝﹣6上．
【点评】本题是坐标与图形的性质，要明确一个点的坐标到两坐标轴的距离：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；其次是根据面积公式列等式求解．
六．平行线的判定（共5小题）
12．（2018春•浦东新区期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出图中所有的平行线，并说明理由．
【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题；
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴BF∥CE，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BC∥EF．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．
13．（2018春•闵行区期末）如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．
（请写出每一步的依据）
【分析】直接利用平行线的判定与性质得出∠FBE＝∠BEG，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性质），
∴∠FBE＝∠BEG（等量代换），
∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，得出∠ABE＝∠BED是解题关键．
14．（2015春•崇明区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC边上的点，且∠1+∠2＝90°，试说明MN∥CE．
【分析】首先根据同角的余角相等可得∠2＝∠ACE，再根据同位角相等、两直线平行可得MN∥CE．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠ACE，
∴NM∥CE．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等、两直线平行．
15．（2015春•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
试说明EF∥CD的理由．（请注明理由）
【分析】先根据∠ACB＝90°得出∠ACD+∠BCD＝90°，再根据CD⊥AB可知∠B+∠BCD＝90°，进而可得出∠B＝∠ACD，由∠AFE＝∠B，可知∠AFE＝∠ACD，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥CD．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的判定定理，根据题意得出∠AFE＝∠ACD是解答此题的关键．
16．（2008秋•东城区期末）老师出了如下的题：
（1）首先，要求你按图1回答以下问题
①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明．
解：（1）① DE ∥ BC ．
② GF∥DC ．
（2）接着，老师另画了一个图2
①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DE∥AB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G．
②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC．
【分析】（1）①∠DEC+∠ACB＝180°可以证明DE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）；
②由DE∥BC可得∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠1＝∠2，那么∠2＝∠DCB，所以DC∥FG（同位角相等，两线平行）．
（2）图2中，DE∥AB可得∠ADE＝∠DAB，又已作∠BFG＝∠ADE，则∠DAB＝∠BFG，所以AD∥FG，又AD⊥BC，所以FG⊥BC．
【解答】解：（1）①DE∥BC，
②可得DC∥FG，
说明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DC∥FG．
（2）证明：如下图所示：
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AD∥FG．
∵AD⊥BC于D，
∴∠CDA＝90°．
∵AD∥FG，
∴∠FGD＝∠CDA＝90°，
∴FG⊥BC．
【点评】本题主要考查平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，根据图形找到两个相等的同位角或内错角，或者同旁内角互补都可判定两条直线平行；在同一平面内，若一条直线垂直于另一条直线，那么平行于这条直线的所有直线都垂直于那条直线．
七．平行线的性质（共3小题）
17．（2016春•闵行区期末）阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE＝∠BAC的理由．
解：因为DP∥AC（已知），
所以∠ BDP ＝∠ BAC （ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠ DPE ＝∠ BDP （ 两直线平行，内错角相等 ）
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
【分析】先根据DP∥AC得出∠BDP＝∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE＝∠BDP，利用等量代换即可得出结论．
【解答】解：因为DP∥AC（已知），
所以∠BDP＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠DPE＝∠BDP（两直线平行，内错角相等），
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
故答案为：BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
18．（2015春•闵行区期末）如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数．
【分析】由平行线的性质可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案．
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°，
∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
19．如图，∠A＝∠3＝55°，AB∥DE，求∠1、∠2的度数．
解：∵AB∥DE （已知）
∴∠1＝ ∠3
∠2＝ ∠A
∵∠A＝∠3＝55°（已知）
∴ ∠1 ＝ ∠2 ＝ 55 °．
【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠3，∠2＝∠A把已知代入即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠A （两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠3＝55° （已知）
∴∠1＝∠2＝55°，
故答案为：∠3，∠A，∠1，∠2，55．
【点评】本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
八．平行线的判定与性质（共5小题）
20．（2015春•罗平县期末）如图，已知AD∥BE，∠CDE＝∠C，试说明∠A＝∠E的理由．
【分析】易证AB∥DE，根据同旁内角互补和等量代换，即可解答．
【解答】证明：∵∠CDE＝∠C，
∴AC∥DE，
∴∠A+∠ADE＝180°，
∵AD∥BE，
∴∠E+∠ADE＝180°，
∴∠A＝∠E．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
21．（2013春•普陀区期末）如图，已知∠ABC＝31°，∠1＝∠2，求∠A的度数．
解：因为∠1＝∠2（已知），
所以 AD∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ），
得 ∠ABC+∠A＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
因为∠ABC＝31°（已知），
所以∠A＝180°﹣∠ ABC ＝ 149 °（等式性质）．
【分析】根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，再根据平行线的性质，即可得到∠ABC+∠A＝180°，进而得出∠A的度数．
【解答】解：因为∠1＝∠2（已知），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
得∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为∠ABC＝31°（已知），
所以∠A＝180°﹣∠ABC＝149°（等式性质）．
故答案为：AD∥BC，内错角相等，两直线平行；∠ABC+∠A＝180°，两直线平行，同旁内角互补；ABC，149．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
22．（2012春•浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度数．
解：因为∠1＝∠3（已知），
所以 a∥b （同位角相等，两直线平行）．
所以∠2 ＝∠5 ．
因为∠2＝57°（已知），
所以 ∠5 ＝57°（等量代换）．
因为∠4+ ∠5 ＝180°（邻补角的意义），
所以∠4＝ 123 °（等式性质）．
【分析】推出a∥b，根据平行线性质求出∠5，根据∠4+∠5＝180°求出即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴a∥b，
∴∠2＝∠5，
∵∠2＝57°，
∴∠5＝57°，
∵∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝123°，
故答案为：a∥b，＝∠5，∠5，∠5，123．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
23．（2012春•静安区期末）如图，已知AB∥CD，∠E＝90°，那么∠B+∠D等于多少度？为什么？
解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ），
因为AB∥CD（ 已知 ），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
得 ∠D+∠DEF＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝ 360 °（等式性质）．
即∠B+∠BED+∠D＝ 360 °．
因为∠BED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝ 270 °（等式性质）．
【分析】过E作EF平行于AB，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由AB与CD平行，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到EF与CD平行，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出∠B+∠BED+∠D，将∠BED度数代入即可求出∠B+∠D的度数．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（两直线平行同旁内角互补），
因为AB∥CD（已知），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
得∠D+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式性质）．
即∠B+∠BED+∠D＝360°．
因为∠BED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝270°（等式性质）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF＝180°；360；360；270
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型填空题，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
24．（2008春•崇明县期末）填写理由或步骤
如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E
因为AD∥BE （已知） ．
所以∠A+ ∠ABE ＝180° （两直线平行，同旁内角互补） ．
因为∠A＝∠E（已知）
所以 ∠ABE + ∠E ＝180° （等量代换） ．
所以DE∥AC （同旁内角互补，两直线平行） ．
所以∠1＝ ∠2．（两直线平行，内错角相等） ．
【分析】由已知的AD与BE平行，得到一对同旁内角互补，然后根据已知的两角相等，等量代换得到另一对同旁内角互补，根据同旁内角互补，两直线平行推出DE与AC平行，然后再根据两直线平行，内错角相等即可得证．
【解答】解：如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，
因为AD∥BE（已知）（1分）
所以∠A+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）（2分）
因为∠A＝∠E（已知）
所以∠ABE+∠E＝180°（等量代换）（2分）
所以DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行）（1分）
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）（2分）
故答案为：（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
九．三角形内角和定理（共2小题）
25．（2017春•浦东新区期末）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，试探究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝ 90° ；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ∠BCN﹣∠ACM＝90° ；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ∠ACM+∠BCN＝270° ．
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，那么，∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；
（2）当点A和点B在直线MN的上方时，根据平角的定义易得∠ACM+∠BCN＝90；
当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，可得∠BCN﹣∠ACM＝90°；
当点A和点B都在直线MN的下方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，可得∠ACM+∠BCN＝270°．
【解答】解：（1）如图1，∠DCE的大小不会发生变化，理由如下：
∵CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，
∴∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，
∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；
（2）当点A和点B在直线MN的上方时（如图2），∠ACM+∠BCN＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；
当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），
∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，
∴∠BCN﹣∠ACM＝（180°﹣∠BCM）﹣（90°﹣∠BCM）＝90°；
当点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），
∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，
∴∠ACM+∠BCN＝（180°﹣∠BCM）+（90°+∠BCM）＝270°．
故答案为90°，∠BCN﹣∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝270°．
【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．
26．（2016春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠C＝2∠1，∠2＝∠1，求∠B的度数．
【分析】根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠1＝90°，又∠C＝2∠1，
∴∠C＝60°，∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝45°，
∴∠B＝45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
一十．三角形的外角性质（共2小题）
27．（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝ ∠CAG ， ∠PFG＝∠QFG （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝ ∠CAG +∠AED， ∠FQG ＝ ∠BAG +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝ ∠FQG （等式性质）
（请完成以下说理过程）
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG，根据三角形的外角的性质得到∠FPQ＝∠FQG得到FP＝FQ，根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
故答案为：∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
28．（2016春•闵行区期末）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ ∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ∠ACB ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于180° ），
所以 ∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） （等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：
（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝90°﹣∠A ．
（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝∠A ．
（3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由．
【分析】（1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．
（4）利用前三个小题的结论，证明∠D＝∠DFC即可．
【解答】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°），
所以∠D＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D
∴∠A＝2∠D
即：∠D＝
（3）解：因为 BD平分∠ABC（已知），
所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE．
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角
等于两个不相邻的内角和），
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A．
又∵∠A＝90°（已知），
∴∠D＝45°（等式性质）．
∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义），
∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠BCA+∠ACE）＝90°．
∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠DFC＝45°（等式性质）．
∴∠D＝∠DFC（等量代换）．
∴DC＝FC．（等角对等边）．
【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
一十一．全等三角形的判定（共3小题）
29．（2019春•浦东新区期末）公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF＝180°）
【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出∠BME＝∠CMF．通过角之间的转换可得到E，M，F在一条直线上．
【解答】证明：连接ME，MF．
∵AB∥CD，（已知）
∴∠B＝∠C（两线平行内错角相等）．
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM（SAS）．
∴∠BME＝∠CMF，
∴∠EMF＝∠BME+∠BMF＝∠CMF+∠BMF＝∠BMC＝180°，
∴E，M，F在一条直线上．
【点评】此题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，注意共线的证明方法．
30．（2017春•浦东新区期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N．
（1）请说明△AOC≌△BOD的理由；
（2）请说明OM＝ON的理由．
【分析】（1）根据已知条件得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC与△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD；
（2）∵△AOC≌△BOD，
∴∠A＝∠B，
在△AOM与△BON中，
，
∴△AOM≌△BON，
∴OM＝ON．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
31．（2016春•杨浦区期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′，试把下面运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整：
说理过程：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，因为 AB＝A′B′ ，所以可以使 AB与A′B′重合 ，
并使点C和C′在AB（A′B′）同一侧，这时点A与A′重合，点B与B′重合，
由于 ∠A＝∠A′ ，因此， 射线AC与射线A′C′叠合 ；
由于 ∠B＝∠B′ ，因此， 射线BC与射线B′C′叠合 ；
于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样 △ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等 ．
【分析】将运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整，即可得出结论．
【解答】解：说理过程：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，
因为AB＝A′B′，所以可以使AB与A′B′重合，
并使点C和C′在AB（A′B′）同一侧，这时点A与A′重合，点B与B′重合，
由于∠A＝∠A′，因此，射线AC与射线A′C′叠合；
由于∠B＝∠B′，因此，射线BC与射线B′C′叠合；
于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．
这样△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等．
故答案为：AB＝A′B′；AB与A′B′重合；∠A＝∠A′；射线AC与射线A′C′叠合；∠B＝∠B′；射线BC与射线B′C′叠合；△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是将运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．
一十二．全等三角形的判定与性质（共16小题）
32．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【分析】（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题；
（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解题．
【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△EAC≌△DAB是解题的关键．
33．（2021春•静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【分析】根据BD＝DC得出∠DBC＝∠DCB，进而利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据BD＝DC得出∠DBC＝∠DCB．
34．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠ DFB ＝∠ EDC ．
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC （SAS） ．
因此∠B＝∠C．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根据∠FDE＝∠B，证明∠DFB＝∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可．
【解答】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（2分）
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠DFB＝∠EDC．（2分）
，
在△DFB和△EDC中，（2分）
所以△DFB≌△EDC（SAS）．（1分）
因此∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
35．（2020春•浦东新区期末）阅读并填空：
如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．
解：连接AE、BE、AF、BF．
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（ 公共边 ），
AE ＝ BE （画弧时所取的半径相等），
AF ＝ BF （画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF （ SSS ）．
所以∠AEF＝∠BEF （ 全等三角形的对应角相等 ）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC （ 等腰三角形三线合一 ）．
即点C是线段AB的中点．
【分析】根据SSS证△AEF≌△BEF，推出∠AEF＝∠BEF，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】解：在△AEF和△BEF中，
，
∴△AEF≌△BEF（SSS），
∴∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等），
∵AE＝BE，
∴AC＝BC（等腰三角形的三线合一），
∴C是线段AB的中点．
故答案为：公共边，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出∠AEF＝∠BEF是解此题的关键．
36．（2019春•浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ∠B＝∠C （等边对等角）．
因为 AD＝AE ，
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
在△ABE与△ACD中，
∠B＝∠C ，
∠AED＝∠ADE，
AB＝AC
所以△ABE≌△ACD（ AAS ）
所以 BE＝CD （全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
即BD＝CE．
【分析】根据等腰三角形的性质、以及全等三角形的判定方法AAS即可解决问题．
【解答】解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C（等边对等角）．
因为 AD＝AE，
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
在△ABE与△ACD中，

所以△ABE≌△ACD（AAS），
所以 （全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
即BD＝CE．
故答案为∠B＝∠C，AD＝AE，∠B＝∠C，AAS，BE＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
37．（2019春•嘉定区期末）如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【分析】AC与BD垂直，理由为：由AB＝AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC＝∠DBC，利用等角对等边得到DC＝BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC＝∠BAC，再利用三线合一即可得证．
【解答】解：AC⊥BD，理由为：
∵AB＝AD（已知），
∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB（等式性质），即∠BDC＝∠DBC，
∴DC＝BC（等角对等边），
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC（全等三角形的对应角相等），
又∵AB＝AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
38．（2017春•杨浦区校级期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q＝ 6 ；
（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 BM+CN＝MN ；此时＝ ；
（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
【分析】（1）构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．根据题意得到∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB＝CE，BD＝DC，因此两三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN＝NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．可根据L的值确定与Q的值；
（2）如果DM＝DN，∠DMN＝∠DNM，因为BD＝DC，那么∠DBC＝∠DCB＝30°，也就有∠MBD＝∠NCD＝60+30＝90°，直角三角形MBD、NCD中，因为BD＝CD，DM＝DN，根据HL定理，两三角形全等．那么BM＝NC，∠BMD＝∠DNC＝60°，三角形NCD中，∠NDC＝30°，DN＝2NC，在三角形DNM中，DM＝DN，∠MDN＝60°，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN＝DN＝2NC＝NC+BM，三角形AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝2AB，三角形ABC的周长L＝3AB，因此Q：L＝2：3．
（3）如果DM≠DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．（1）中我们已经得出，∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB＝CE，BD＝DC，因此两三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一条公共边，因此两三角形全等，MN＝NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的．
【解答】（1）解：如图2，延长AC至E，使CE＝BM，连接DE，
∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在△MBD与△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．
∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．
在△MDN与△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC+BM，
∵△AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，
等边△ABC的周长L＝3AB＝9，即AB＝3，
则Q＝6；
（2）解：如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．
此时＝；
（3）猜想：（2）中的结论仍然成立，
证明：如图，延长AC至E，使CE＝BM，连接DE，
∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在△MBD与△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．
∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．
在△MDN与△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC+BM，
∵△AMN的周长Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB，
等边△ABC的周长L＝3AB，
∴＝．
故答案为：（1）6；（2）BM+NC＝MN；
【点评】此题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
39．（2016春•杨浦区期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD
（1）请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是： CE＝DE 或 ∠A＝∠B ；
（2）请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由．
【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可；
（2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论．
【解答】解：（1）∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE，
（2）方法一：选∠A＝∠B
在△FCA和△FDB中
∴△FCA≌△FDB，
∴FC＝FD，FA＝FB，
∴FB﹣FC＝FA﹣FD 即BC＝AD，
方法二：选CE＝DE
∵AC＝BD 又∵CE＝DE
∴AC﹣CE＝BD﹣DE 即AE＝BE，
在△BCE和△ADE中
∴△BCE≌△ADE，
∴BC＝AD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，是开放型题目，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
40．（2015春•长宁区期末）已知△ABC、△COD均为等边三角形，点O是△ABC内的一点，且∠AOB＝110°，∠BOC＝α．
（1）如图（1），说明△BOC≌△ADC的理由；
（2）如图（2），当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）如图（1），填空：当△AOD为等腰三角形时，α的度数为 125°或110°或140° ．（请直接写出答案）
【分析】（1）根据SAS证明△BOC≌△ADC即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC＝∠BOC＝150°，由等边三角形的性质得出∠ODC＝60°，求出∠ADO＝90°即可；
（3）分三种情况：①AO＝AD时；②OA＝OD时；③OD＝AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ODC是等边三角形，
∴CB＝CA，CO＝CD，∠BCA＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC．
（2）结论：△ADO是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADC＝150°，
∵∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝90°，
∴△ADO是直角三角形．
（3）解：分三种情况：
①AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°
∴α＝125°；
②OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°
∴α＝110°；
③OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°
∴α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
故答案为125°或110°或140°．
【点评】本题是三角形综合题目，以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
41．（2013秋•闵行区期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在 图2和 图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）如图1中，根据△ABE≌△CBF可证△BEF是等边三角形，即可解题；
（2）①如图2中，结论仍然成立．证明△EBF≌△KBF，即可得EF＝CK+CF，可证AE+CF＝EF；
③如图3中，结论不成立，猜想猜想AE﹣CF＝EF．在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK证明△EBF≌△KBF，即可得AE﹣CF＝EF．
【解答】解：（1）如图1中，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF＝（∠ABC﹣∠MBN）＝（120°﹣60°）＝30°．
∴AE＝BE，CF＝BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF．
∴AE+CF＝BE+BF＝EF；
（2）①如图2中，结论仍然成立．理由如下：
延长DC至K点使得CK＝AE，
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°，
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF＝KF．
∴EF＝CK+CF．
∴AE+CF＝EF；
③如图3，结论不成立．猜想AE﹣CF＝EF，理由如下：
证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°．
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF＝KF，
∴EF＝CK﹣CF．
∴AE﹣CF＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
42．（2014春•松江区期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．
（1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．联结DE．
①说明AE＝AC的理由；
②说明BE＝DE的理由；
（2）如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由．
【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，根据垂直的定义可得∠AFE＝∠AFC＝90°，然后利用“角边角”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；②利用“边角边”证明△AED和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED＝∠ACB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝∠B+∠BDE，然后求出∠B＝∠BDE，再根据等角对等边证明即可；
（2）连接DN，易得△ABM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AN，再利用“边角边”证明△ABD和△AND全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠AND，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACB＝∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN＝∠CND，再根据等角对等边证明即可．
【解答】解：（1）①∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵CF⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC；
②在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠ACB
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）连接DN，易证△ABM≌△ANM，
所以AB＝AN，
在△ABD和△AND中，
，
∴△ABD≌△AND（SAS），
∴∠ABD＝∠AND，
∵∠ACB＝2∠ABC，即∠ACB＝2∠ABD，
∴∠ACB＝2∠AND，
又∵∠ACB＝∠CDN+∠AND，
∴∠CDN＝∠AND，
∴CD＝CN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键，（2）难点在于作辅助线构造出全等三角形．
43．（2015春•徐汇区期末）如图1和2，直线MN和线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°．
（1）如图1，试说明AB⊥BD的理由；
（2）如图2，如果AO＝BO，试说明AC＝BD的理由．
完成下列括号填空：
过点B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A＝∠EBO（ 两直线平行，内错角相等 ）
又AO＝BO，∠AOC＝∠BOE（ 对顶角相等 ）
∴△AOC≌△BOE
∴AC＝BE，∠ACO＝∠BEO
又∠1+∠ACO＝180°，∠BED+∠BEO＝180°
∴BED＝∠1，又∠1＝∠2
∴∠BED＝∠2
∴BD＝BE（ 等角对等边 ）
∴AC＝BD．
【分析】（1）由对顶角相等得出∠BOD＝∠1＝45°，再由三角形内角和定理求出∠B＝90°，即可得出结论；
（2）过点B作BE∥AC交MV于E．由平行线的性质得出∠A＝∠EBO，由ASA证明△AOC≌△BOE，得出AC＝BE，∠ACO＝∠BEO，由角的互余关系得出∠BED＝∠1，证出∠BED＝∠2，由等角对等边得出BD＝BE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2＝45°．∴∠BOD＝∠1＝45°，∴∠B＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥BD；
如图1和2，直线MN和线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°．
（2）解：过点B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A＝∠EBO（两直线平行，内错角相等）
又AO＝BO，∠AOC＝∠BOE（对顶角相等）
∴△AOC≌△BOE（ASA）
∴AC＝BE，∠ACO＝∠BEO，
又∠1+∠ACO＝180°，∠BED+∠BEO＝180°
∴∠BED＝∠1，又∠1＝∠2
∴∠BED＝∠2
∴BD＝BE（等角对等边）
∴AC＝BD．
故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；等角对等边．
【点评】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题（2）的关键．
44．（2012春•金山区校级期末）如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连接AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN＝MB．
（1）若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN＝MB．
（2）若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN＝BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由．
（3）在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是 等边 三角形，四边形CMDN是 平行 四边形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，根据等角的补角相等求出∠ACN＝∠MCB，再利用“边角边”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，再利用“边角边”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB；
（3）求出∠CAM＝∠ABD＝60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB＝60°，然后根据三个角都相等的三角形是等边三角形解答；根据内错角相等两直线平行求出MD∥CN，CM∥ND，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答．
【解答】（1）证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝MB；
（2）解：AN＝MB成立．
证明如下：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝MB；
（3）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴∠CBN＝∠CAM＝60°，
∴∠ABD＝∠CBN＝60°（对顶角相等），
∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ABD＝∠CAM＝∠ADB，
∴△ABD是等边三角形；
∵∠ADB＝∠BNC＝60°，
∴MD∥CN，
∵∠ADB＝∠AMC＝60°，
∴CM∥ND，
∴四边形CMDN是平行四边形．
故答案为：等边，平行．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握等边三角形的性质确定出三角形全等的条件是解本题的关键．
45．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE＝∠CBF＝30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF＝EF．
同理图2可证明是成立的，图3不成立．
【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝BE，CF＝BF；
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF＝BE+BF＝BE＝EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE和△BCK中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF＝EF，
∴KC+CF＝EF，
即AE+CF＝EF．
图3不成立，
AE、CF、EF的关系是AE﹣CF＝EF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用．
46．（2006•北京）如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定其全等了．
先利用SAS来判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE＝∠AFG，FE＝FG．再利用ASA来判定△CFG≌△CFD得到FG＝FD所以FE＝FD．
【解答】解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED，如图①，
（1）结论为EF＝FD．
如图②，在AC上截取AG＝AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△AEF与△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG．
由∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B＝180°，
∴∠2+∠3＝60°．
又∵∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝∠2+∠3＝60°．
∴∠CFG＝60°．
即∠GFC＝∠DFC，
在△CFG与△CFD中，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG＝FD．
∴FE＝FD．
（2）EF＝FD仍然成立．
如图③，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE＝∠FHD＝90°，
∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3＝60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF＝∠BAC+∠3＝60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG＝FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∵∠HDF＝∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF＝∠HDF．
在△EGF与△DHF中，，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE＝FD．
【点评】此题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等．
47．（2016春•浦东新区期末）如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
（1）试说明△ADC与△BEC全等的理由；
（2）试判断△DCE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，直角三角形的性质，熟记等腰三角形的判定是解题的关键．
一十三．等腰三角形的性质（共5小题）
48．（2019春•浦东新区期末）如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数．
【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．
【解答】解：设∠A＝x°．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．
49．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE，求∠EDC的度数．
【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，
∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，
又因为AD＝AE，
所以∠ADE＝∠AED＝x+y，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，
又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，
所以2x+y＝y+30，
解得x＝15．
所以∠EDC的度数是15°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．
50．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，∠B＝∠ACE，可得∠A＝∠ECD．再结合已知用ASA可证明△ABC≌△CDE，从而AC＝CE；
（2）连接GC并延长至点K．因为AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，由三角形外角关系可得∠ACK＝a+∠AGC，∠ECK＝b+∠EGC，所以∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+β，即a+b＝α﹣β．又由（1）中结论可知∠ECD＝∠BAC＝2a，根据三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，可得3α﹣2β＝180°；
（3）当AH∥EI时，过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．易证∠ACE＝∠ACM+∠ECM，即α＝a+b．在△CED中，根据三角形内角和定理有2a+2b+α＝180°，解得α＝60°，故∠B＝60°．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK为△ACG的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
∴2（a+b）+α＝180°，
∴3α﹣2β＝180°．
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
即2（a+b）＝180°﹣α，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
故∠B＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC并延长，利用三角形外角性质证得a+b＝α﹣β是解题的关键．
51．（2015春•徐汇区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．
【分析】先根据AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再过点A作∠DAC＝36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．
【解答】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°，
过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则
△ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，
△ACD中，∠DAC＝∠C＝36°，
故△ACD和△ABD均为等腰三角形，
故射线AD即为所求．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角．
52．（2017春•浦东新区期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
一十四．等腰三角形的判定与性质（共3小题）
53．（2019春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．
（1）如图1，求∠P的度数；
（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，可得∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，然后由三角形外角的性质求得∠P＝∠A；
（2）由BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线与EF∥BC，易证得△PEB与△PFC是等腰三角形，继而得到线段BE、EF、CF之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBD＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝×70°＝35°；
（2）BE＝EF+CF．
理由：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，
∵EF∥BC，
∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC，
∴BE＝PE，CF＝PF，
∵PE＝EF+PF，
∴BE＝EF+CF．
【点评】此题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
54．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．
再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．
【解答】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．
55．（2016春•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，CE∥AD交BA的延长线于点E，请判断△AEC的形状，并说明理由．
结论：△AEC是 等腰 三角形．
解：因为AB＝AC，BD＝CD （已知），
所以∠BAD＝ ∠CAD ．
因为CE∥AD （已知），
所以∠BAD＝ ∠E ．
∠CAD＝ ∠ACE ．
所以∠ ACE ＝∠ E ．
所以 AC ＝ AE ．
等角对等边 ．
即△AEC是 等腰 三角形．
【分析】首先由等腰三角形的性质易得∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得∠BAD＝∠E，等量代换可得∠ACE＝∠E，由等腰三角形的判定定理可得AC＝AE，即得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠E，
∴AC＝AE（等角对等边），
即△AEC是等腰三角形．
故答案为：等腰、∠CAD、∠E、∠ACE、ACE、E、AC、AE、等角对等边、等腰．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用平行线的性质和等腰三角形的性质是解答此题的关键．
一十五．等边三角形的判定（共1小题）
56．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．
一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
57．（2018春•闵行区期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点．
（1）△ABO的面积为 ．
（2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 （﹣a，3） ．
（3）设点P的横坐标为，如果△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，那么应将点P向 右 （填“左”“右”）平移 个单位．
（4）如果△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍，那么点P的坐标为 P（﹣1，3）或（，3） ．
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行解答；
（2）关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
（3）等底同高的两个三角形的面积相等；
（4）分类讨论①当点P在原点左侧时，②当点P在原点右侧时，设点P表示的数为m，则3﹣m＝2m×2，即可得答案．
【解答】解：（1））△ABO的面积为：AB•OC＝×7×3＝．
故答案是：．
（2）因为点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点，点P的横坐标为a，所以点Q的坐标是（﹣a，3）．
故答案是：（﹣a，3）；
（3）∵△OPA和△OPQ的面积相等，点O到直线AB的距离都是3，
∴线段AP＝PQ．
∴此时点P是线段AQ的中点，
∵P（，3），
∴Q（﹣，3），
∴应将点P向右平移个单位．
故答案是：右；；
（4）①当点P在原点左侧时，P（﹣1，3）；
②当点P在原点右侧时，设点P表示的数为（m，3），
则3﹣m＝2m×2，
解得m＝．
故P（﹣1，3）或（，3）．
故答案是：P（﹣1，3）或（，3）．
【点评】考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，三角形的面积公式以及坐标与图形变换．注意“数形结合”数学思想的应用．
58．（2016春•普陀区期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0），
（1）图中点B的坐标是 （﹣3，4） ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （3，﹣4） ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 （2，0） ；
（3）四边形ABDC的面积是 16 ；
（4）在直角坐标平面上找一点E，能满足S△ADE＝S△ABC的点E有 无数 个；
（5）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 （0，4）或（0，﹣4） ．
【分析】（1）根据图示直接写出答案；
（2）关于原点对称的点的横纵坐标与原来的互为相反数；关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）根据四边形ABDC的面积＝S△ABD+S△ADC即可解答；
（4）求出△ADE的高为4，即可解答；
（5）根据三角形的面积公式求得OF的长度即可．
【解答】解：（1）根据图示知，点B的坐标为（﹣3，4）；
（2）由（1）知，B（﹣3，4），
∴点B关于原点对称的点C的坐标是（3，﹣4）；
∵点A的坐标（﹣2，0），
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是（2，0）；
（3）如图，
四边形ABDC的面积＝S△ABD+S△ADC＝4×4×+4×4×＝16．
（4）S△ABC＝S△ABO+S△ACO＝＝8，
∵S△ADE＝S△ABC，
∴4•h•＝8，
∴h＝4，
∵AD在x轴上，
∴直角坐标平面上找一点E，只要点E的纵坐标的绝对值为4即可，
∴直角坐标平面内点E有无数个．
（5）∵S△ADF＝S△ABC，AD＝4，S△ABC＝8
∴OF＝4
∴那么点F的所有可能位置是（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为：（1）（﹣3，4）；（2）（3，﹣4），（2，0）；（3）16；（4）无数；（5）（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题综合考查了三角形的面积、坐标与图形性质、关于坐标轴对称的点的坐标以及坐标图形变换与旋转．解答此类题目时，要将图形画出来，利用“数形结合”的数学思想解题．
一十七．坐标与图形变化-对称（共1小题）
59．（2017春•浦东新区期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．
（1）求点C的坐标；
（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．
【分析】（1）由A、B坐标得出AB＝5，根据点C是点A关于点B的对称点知BC＝AB＝5，据此可得；
（2）根据S△BCD＝BC•AD＝10且BC＝5，可得AD＝4，即可知OP＝2，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵点A（8，0），点B（3，0），
∴AB＝5，
∵点C是点A关于点B的对称点，
∴BC＝AB，
则点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图，
由题意知S△BCD＝BC•AD＝10，BC＝5，
∴AD＝4，
则OP＝2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣对称，解题的关键是掌握对称的定义和性质．
一十八．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
60．（2018春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴的正半轴上，且OB＝2OA，将线段AB绕着A点顺时针旋转90°，点B落在点C处．
（1）分别求出点B、点C的坐标．
（2）在x轴上有一点D，使得△ACD的面积为3，求：点D的坐标．
【分析】（1）根据题意画出图形即可解决问题；
（2）设D（m，0），由题意•|m﹣2|•2＝3，求出m即可解决问题；
【解答】解：（1）由图象可知，B（0，4），C（2，﹣2）；
（2）设D（m，0），由题意•|m﹣2|•2＝3，
解得m＝﹣5和1，
∴D（1，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型